Остап Бендер и золотые резисторы

Блоки схемы соединены последовательно; в блоке \(k\) стоят \(k\) параллельных резисторов (\(k = 1, \dots, 5\)). Общее сопротивление \[R_{tot} = R\left(1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15\right) = \frac{137}{60}R .\] Падения напряжения на отдельных резисторах блоков: \[U_1 = \frac{60U_0}{137} > \frac{U_0}{7}, \quad U_2 = \frac{30U_0}{137} > \frac{U_0}{7}, \quad U_3 = \frac{20U_0}{137} > \frac{U_0}{7}, \quad U_4 = \frac{15U_0}{137} < \frac{U_0}{7}, \quad U_5 = \frac{12U_0}{137} < \frac{U_0}{7}.\] Замечания: выкусывание резистора из блока с \(m\) резисторами уменьшает ток через остальные блоки, поэтому их напряжения на резисторах только уменьшаются, а в своём блоке — растут; резистор, который можно выкусить сейчас, можно выкусить и позже. Поэтому порядок выкусывания не влияет на итог.

Первым шагом Бендер может выкусить резисторы из 4-го и 5-го блоков: \(R_{41}\), \(R_{51}\), \(R_{52}\). Тогда блоки содержат \(1, 2, 3, 3, 3\) резистора, \(R_{tot} = R + \dfrac{R}{2} + 3\cdot\dfrac{R}{3} = \dfrac{5}{2}R\), и напряжения \(U_1 = \dfrac{2U_0}{5} > \dfrac{U_0}{7}\), \(U_2 = \dfrac{U_0}{5} > \dfrac{U_0}{7}\), \(U_3 = U_4 = U_5 = \dfrac{2U_0}{15} < \dfrac{U_0}{7}\). Бендер выкусывает \(R_{31}\), \(R_{42}\), \(R_{53}\). Остаётся схема из \(1,2,2,2,2\) резисторов с \(R_{tot} = 3R\) (один резистор и четыре пары параллельных резисторов по \(R/2\)) и напряжениями \(U_1 = \dfrac{U_0}{3} > \dfrac{U_0}{7}\), \(U_2 = U_3 = U_4 = U_5 = \dfrac{U_0}{6} > \dfrac{U_0}{7}\). Выкусывать больше нельзя.

Итого украдено \(6\) резисторов. Нельзя получить схему с меньшим числом резисторов: в схеме не может появиться второй блок из одного резистора, потому что напряжение на таком выкусываемом резисторе не меньше \(U_0/6 > U_0/7\).