Поршни и пружины

Пружины недеформированы, поэтому в начале вес поршней уравновешен давлением газа. Давление газа над нижним поршнем (в верхнем отсеке) \(p_0 = \dfrac{mg}{S}\); на нижний поршень сверху действует сила \(p_0 S = mg\), значит, давление снизу \(2p_0\).

Пусть после установления равновесия верхняя пружина сжата на \(x_1\), нижняя — на \(x_2\) (отрицательное значение означает растяжение). Объёмы отсеков \(V_1 = (L - x_1)S\), \(V_2 = (L - x_2)S\). Количество вещества в начале \(\nu_1 + \nu_2 = \dfrac{3p_0LS}{RT}\); в конце давление \(p\) одинаково в обоих отсеках, температура та же: \[\frac{3mg}{S}\,L = p\,(2L - x_1 - x_2).\] Равновесие верхнего поршня и нижнего поршня: \[mg = pS + kx_1, \qquad mg + kx_1 = kx_2 .\] Введём \(\alpha_{1,2} = x_{1,2}/L\) и \(a = \dfrac{mg}{kL}\): \[3a = \frac{pS}{kL}(2 - \alpha_1 - \alpha_2), \qquad a = \frac{pS}{kL} + \alpha_1, \qquad a + \alpha_1 = \alpha_2 .\] Подставляя, получаем квадратное уравнение \(2\alpha_1^2 - (a+2)\alpha_1 - a(a+1) = 0\), решения \(\alpha_1 = a + 1\) (отбрасываем: \(\alpha_1 \le 1\)) и \(\alpha_1 = -a/2\), \(\alpha_2 = a/2\). Итак, верхняя пружина растянута на \(mg/(2k)\), нижняя сжата на \(mg/(2k)\). Это физично при \(\alpha_2 = a/2 \le 1\), то есть \(a \le 2\). Тогда верхний поршень остаётся на высоте \(2L\), нижний опускается на \(\dfrac{mg}{2k}\).

При \(a > 2\) нижний поршень лежит на дне: \(x_2 = L\). Тогда \(3a = \dfrac{pS}{kL}(1 - \alpha_1)\), \(a = \dfrac{pS}{kL} + \alpha_1\), откуда \(\alpha_1^2 - (a+1)\alpha_1 - 2a = 0\), \(\alpha_1 = \dfrac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 10a + 1}}{2}\) (решение «с плюсом» больше единицы). Высота верхнего поршня \(h = L(1 - \alpha_1) = \dfrac{L}{2}\left(\sqrt{a^2 + 10a + 1} + 1 - a\right)\).