Задачи › Нагреватели, КПД нагрева

Тепловой цикл

  1. Тепловой цикл

    ВсОШ 2024/25, 9 кл.
    6/10

    Экспериментатор Глюк поставил на газовую плиту кастрюлю с водой. Вода имеет неизвестные начальные массу \(M\) и температуру \(t_1\). Ненадолго отвлёкшись, он обнаружил, что большая часть воды уже выкипела. Глюк осознал, что процесс нагревания нужного количества воды придётся начинать сначала. Он выключил плиту, и с небольшим постоянным массовым расходом \(\mu\) стал доливать в кастрюлю холодную воду температурой \(t_\text{х} = 20\,^\circ\text{C}\). Когда масса воды в кастрюльке стала равна начальной, температура воды также оказалась равна начальной температуре.

    Рисунок

    Диаграмма зависимости температуры воды в кастрюле в течение эксперимента от величины, обратной к общей массе воды в кастрюле (см. рисунок), оказалось, представляет собой замкнутый цикл \(1 - 2 - 3 - 1\), причём времена кипения воды на участке \(2 - 3\) и доливания холодной воды на участке \(3 - 1\) одинаковые. После окончания эксперимента Глюк случайно пролил воду на график, поэтому точка 1, участки \(1 - 2\) и \(3 - 1\) на графике оказались не видны, а единицы измерения одной из осей потеряны.

    1. Считая известным коэффициент полезного действия (КПД) газовой плиты \(\eta = 0{,}5\), массовый расход газа \(\mu_0 = 0{,}14\text{ г/с}\) и удельную теплоту его сгорания \(q = 33\text{ МДж/кг}\), определите полезную мощность плиты \(P\). Здесь коэффициентом полезного действия называется отношение полезной мощности, поступающей к воде в кастрюле, к общей мощности, выделяющейся при сгорании газа.

    2. Определите массовый расход холодной воды \(\mu\) на участке \(3 - 1\).

    3. Определите температуру \(t_1\) воды в точке 1. Восстановите вид всей диаграммы.

    4. Во сколько раз время \(\tau_{23}\), в течение которого вода кипела на участке \(2 - 3\) больше, чем время \(\tau_{12}\) нагревания воды на участке \(1 - 2\)?

    Тепловых потерь нет. Испарением на участках \(1 - 2\) и \(3 - 1\) и теплоёмкостью кастрюли пренебречь. Удельная теплота парообразования воды \(L = 2{,}3\text{ МДж/кг}\), удельная теплоемкость воды \(c = 4200\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}\), температура кипения воды \(t_{100} = 100\,^\circ\text{C}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    На участке \(1 - 2\) масса не меняется — он вертикален, так что масса в точке 3 равна \(M/4\). За одинаковое время плита испарила \(3M/4\), а долив принёс те же \(3M/4\); на участке \(3 - 1\) запишите тепловой баланс смешивания и найдите \(t(m)\).

    Ответ

    1) \(P = \eta\mu_0 q \approx 2{,}3\text{ кВт}\);  2) \(\mu = \mu_0\eta q/L = 1{,}0\text{ г/с}\);  3) \(t_1 = 40\,^\circ\text{C}\), диаграмма — прямоугольный треугольник с вершинами \((1;\,40)\), \((1;\,100)\), \((4;\,100)\);  4) \(\tau_{23}/\tau_{12} \approx 6{,}9\).

    Решение

    За время \(\Delta\tau\) сжигается \(\Delta m_0 = \mu_0\Delta\tau\) газа, то есть выделяется \(\Delta Q_\text{вся} = \Delta m_0 q\) энергии. Лишь \(\eta\)-ая её часть идёт на нагревание воды \(\Delta Q_\text{эфф} = \eta\Delta Q_\text{вся}\). Тогда эффективная мощность \[P = \frac{\Delta Q_\text{эфф}}{\Delta\tau} = \eta\mu_0 q \approx 2{,}3\text{ кВт}.\]

    Заметим, что на участке \(1 - 2\) не происходит изменения массы воды (не происходит испарений и доливаний), т. е. этот участок вертикальный. Обозначим массу воды в точке 1 за \(M\). Уравнение, описывающее испарение на участке \(2 - 3\): \[P\tau_{23} = \left(M - \frac{M}{4}\right)L = \frac{3M}{4}L.\] Уравнение, описывающее доливание воды на участке \(3 - 1\): \[\mu\tau_{31} = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}.\] С учётом \(\tau_{23} = \tau_{31}\), получим \[\mu = \frac{P}{L} = \mu_0\frac{\eta q}{L} = 1{,}0\text{ г/с}.\]

    Уравнение теплового баланса на участке \(3 - 1\) (\(t_{100} = 100\,^\circ\text{C}\) — температура кипения воды, \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(m\) и \(t\) — текущие масса и температура воды на участке \(3 - 1\)): \[c\frac{M}{4}(t_{100} - t) = c\left(m - \frac{M}{4}\right)(t - t_\text{х}).\] Из него следует зависимость температуры воды от её массы на этом участке \[t(m) = t_\text{х} + \frac{M}{4}(t_{100} - t_\text{х})\cdot\frac{1}{m}.\]

    Рисунок

    Последняя формула показывает линейность участка \(3 - 1\). Температура воды при массе, равной начальной \(M\), равна \(t_1 = t(M) = t_\text{х} + (t_{100} - t_\text{х})/4 = (t_{100} + 3t_\text{х})/4 = 40\,^\circ\text{C}\). Восстановим целостный вид диаграммы — это прямоугольный треугольник с вершинами \((1;\,40)\), \((1;\,100)\), \((4;\,100)\). \[t_1 = 40\,^\circ\text{C}.\]

    Уравнение, описывающее нагревание на участке \(1 - 2\): \[P\tau_{12} = cM(t_{100} - t_1).\] Тогда

    \[\frac{\tau_{23}}{\tau_{12}} = \frac{3L}{4c(t_{100} - t_1)} \approx 6{,}9.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх