Пуля попадает в падающий шарик

Из закона сохранения импульса найдите связь горизонтальной скорости шарика после удара с его вертикальной скоростью до удара, затем разделите движение на два участка.

\(H=\dfrac{L^2}{2g\tau^2\operatorname{tg}^2\alpha}+\dfrac{g\tau^2}{2}=25\) м.

Траектория движения шарика изображена на рисунке.

На первом участке шарик свободно падает, его координата \(y\) и скорость \(v_y\) меняются по законам: \(y(t)=H-\dfrac{gt^2}{2}\) и \(v_y(t)=-gt\) соответственно. Отсюда легко найти, что в момент столкновения с пулей шарик, пройдя расстояние \(h_1\), имел скорость, равную по модулю \[v_1=\sqrt{2gh_1}.\tag{1}\] В начале второго участка траектории, сразу после попадания пули, шарик движется горизонтально. Его импульс по закону сохранения равен \(\vec p_{\text{ш}2}=\vec p_{\text{ш}1}+\vec p_{\text{п}}\), где \(\vec p_{\text{ш}1}\) и \(\vec p_{\text{п}}\) — импульсы шарика и пули до столкновения. Из рисунка видно, что при заданных условиях \(p_{\text{ш}2}=p_{\text{ш}1}\operatorname{tg}\alpha\). Поскольку импульс по модулю равен произведению массы на скорость, а масса шарика не изменилась (в условии сказано, что массой пули можно пренебречь), то можно считать, что сразу после попадания пули скорость шарика равна \(v_2=v_1\operatorname{tg}\alpha\). Тогда зависимости координат \(x\) и \(y\) шарика на втором участке траектории имеют вид: \(x(t)=v_2t=v_1(\operatorname{tg}\alpha)\,t\) и \(y(t)=h_2-\dfrac{gt^2}{2}\).

Учитывая, что после столкновения шарик упал на землю за время \(\tau\), сместившись по горизонтали на расстояние \(L\), найдём: \[h_2=\frac{g\tau^2}{2}\tag{2}\] \[L=v_1(\operatorname{tg}\alpha)\,\tau\tag{3}\] Решая систему полученных уравнений (1)–(3), найдём искомую высоту \(H\), с которой отпустили шарик: \[H=h_1+h_2=\frac{L^2}{2g\tau^2\operatorname{tg}^2\alpha}+\frac{g\tau^2}{2}.\] Ответ: \(H=\dfrac{L^2}{2g\tau^2\operatorname{tg}^2\alpha}+\dfrac{g\tau^2}{2}=25\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.