Два бруска и подвижный блок

Для невесомого подвижного блока натяжение нити, привязанной к его оси, вдвое больше \(F\). Запишите уравнения движения каждого бруска и свяжите разность смещений с ускорениями.

\(F=m\,\dfrac{\Delta x+\mu g\tau^2}{\tau^2}=2\) Н.

Направим координатные оси \(X\) и \(Y\), как показано на рисунке. Обозначим силы, действующие на бруски и на блок.

Запишем уравнения движения брусков в проекциях на ось \(Y\): \(0=mg-N_1\), \(0=Mg-N_2\); и на ось \(X\): \(ma_{1x}=F-F_{\text{тр}1}\), \(Ma_{2x}=F_{\text{тр}2}-T\). Так как блок и нить невесомы, сила натяжения нити, закреплённой за ось подвижного блока, равна по модулю удвоенной силе натяжения нити, перекинутой через него: \(T=2F\).

Отметим, что каждый брусок придёт в движение, когда действующая на него со стороны нити сила (\(F\) или \(T\)) будет превышать максимальное значение соответствующей силы трения покоя, равное силе трения скольжения: \(F_{\text{тр}1,2}=\mu N_{1,2}\). При этом, поскольку \(M=2m\), нетрудно установить, что \(F_{\text{тр}2}=2F_{\text{тр}1}\), и с учётом соотношения между \(T\) и \(F\) бруски придут в движение одновременно, как и предложено считать в условии задачи.

Из уравнений движения брусков получим: \(ma_{1x}=F-\mu mg\), \(Ma_{2x}=\mu Mg-T\). Разделим каждое уравнение на соответствующую массу и вычтем из первого уравнения второе: \[a_{1x}-a_{2x}=\frac{F}{m}+\frac{T}{M}-2\mu g.\] Далее запишем законы равноускоренного движения для каждого из брусков: \(x_{1,2}(t)=x_{01,02}+\dfrac{a_{1,2x}t^2}{2}\), где \(x_{01}\) и \(x_{02}\) — координаты брусков \(m\) и \(M\) в начальный момент времени. Тогда изменение координаты каждого бруска за время \(\tau\) составит \(\Delta x_{1,2}=\dfrac{a_{1,2x}\tau^2}{2}\). Суммарное сближение, с учётом того, что координата бруска \(M\) уменьшается, составит \(\Delta x=\Delta x_1-\Delta x_2=\dfrac{(a_{1x}-a_{2x})\tau^2}{2}\). Подставив сюда полученный ранее результат для ускорений \(a_{1x}-a_{2x}=\dfrac{(M+2m)F}{Mm}-2\mu g\), получим искомое значение для силы: \[F=\frac{2mM}{M+2m}\cdot\frac{\Delta x+\mu g\tau^2}{\tau^2}=m\cdot\frac{\Delta x+\mu g\tau^2}{\tau^2}.\] Ответ: \(F=m\cdot\dfrac{\Delta x+\mu g\tau^2}{\tau^2}=2\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.