Шар, конденсатор и два резистора

Описанная в условии задачи схема эквивалентна изображённой на рисунке 3.30, где \(C_0 = 4\pi\varepsilon_0r\) — ёмкость конденсатора, образованного проводящим шаром и землёй. До замыкания ключа в системе была запасена энергия \(W_1 = Q^2/(2C_0)\).

После замыкания ключа заряд \(Q\) распределится между конденсаторами пропорционально их ёмкостям: заряд конденсатора \(C\) будет равен \(q = CQ/(C + C_0)\), а заряд конденсатора \(C_0\) будет равен \(q_0 = C_0Q/(C + C_0)\). Поэтому после замыкания ключа в конденсаторах будет запасена энергия \[W_2 = \dfrac{q^2}{2C} + \dfrac{q_0^2}{2C_0} = \dfrac{Q^2}{2(C + C_0)}.\] Значит, после замыкания ключа в системе выделится количество теплоты \[Q = W_2 - W_1 = \dfrac{CQ^2}{2C_0(C + C_0)}.\] Поскольку резисторы \(R_1\) и \(R_2\) соединены последовательно, то теплота \(Q\) распределится между ними пропорционально величинам их сопротивлений: \[Q_{R_1} = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}Q = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\cdot\dfrac{CQ^2}{2C_0(C + C_0)} = \dfrac{R_1CQ^2}{8\pi\varepsilon_0r(R_1 + R_2)(C + 4\pi\varepsilon_0r)},\] \[Q_{R_2} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}Q = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\cdot\dfrac{CQ^2}{2C_0(C + C_0)} = \dfrac{R_2CQ^2}{8\pi\varepsilon_0r(R_1 + R_2)(C + 4\pi\varepsilon_0r)}.\]