ИОШ, 2017/18, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сравните начальное и конечное состояния калориметров: вода в каждом из них в итоге та же, что была в начале. Из теплового баланса первого перекладывания найдите отношение теплоёмкостей тела и калориметра, а затем запишите баланс для второго перекладывания.

Ответ

\(t_y = 39{,}9\,^\circ\text{C}\).

Решение

Проще всего решить эту задачу, рассматривая сразу конечное состояние калориметров. С точки зрения содержимого они вернулись к первоначальному состоянию, но температура во втором калориметре уменьшилась от \(t_2\) до \(t_x\). Поэтому первый калориметр потерял энергию \(Q = C\,(t_2 - t_x)\), где \(C\) — теплоёмкость калориметра вместе с водой, но без тела. Поскольку по условию потерями тепла можно пренебречь, всю эту энергию получил первый калориметр. Поэтому уравнение теплового баланса для двух перекладываний тела (во второй калориметр, а потом назад) даёт \[C\,(t_2 - t_x) = (C + C_0)\,(t_y - t_1),\] где \(C_0\) — теплоёмкость тела, \(t_y\) — искомая температура первого калориметра после возвращения в него тела. Отсюда \[t_y = t_1 + \frac{t_2 - t_x}{1 + \dfrac{C_0}{C}}. \qquad (*)\] Отношение теплоёмкостей найдём из первого процесса установления равновесия. Для перекладывания тела из первого калориметра во второй получаем \[C\,(t_2 - t_x) = C_0\,(t_x - t_1) \quad\Rightarrow\quad \frac{C_0}{C} = \frac{t_2 - t_x}{t_x - t_1}.\] Подставляя эту формулу в (*), получим \[t_y = t_1 + \frac{(t_2 - t_x)(t_x - t_1)}{t_2 - t_1} = 39{,}9\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Асфальт кажется мокрым, если свет от неба отражается от него как от зеркала. Это возможно при полном внутреннем отражении в слое горячего воздуха у поверхности, где показатель преломления меняется сильнее всего. Разбейте воздух на тонкие слои и примените закон преломления к каждому из них.

Ответ

Асфальт кажется мокрым на расстоянии \(l > 300\ \text{м}\).

Решение

Асфальт будет казаться мокрым, если падающие на него лучи будут отражаться как от гладкой поверхности (как от зеркала). А такое возможно, если лучи будут отражаться не от поверхности асфальта, а от горячего воздуха благодаря полному внутреннему отражению.

Под солнечными лучами асфальт разогревается до очень высоких температур (\(60\,^\circ\text{C}\), как сказано в условии). От асфальта нагревается воздух, и около поверхности асфальта формируется слой воздуха с сильно меняющейся температурой (и, соответственно, показателем преломления). Как следует из данной в условии формулы, самый маленький показатель преломления — около поверхности асфальта.

Разобьём воздух на тонкие слои, показатель преломления каждого из которых можно считать постоянным (см. рис.). Пусть на верхний слой под углом \(\alpha_0\) падает луч. Закон преломления на первой границе даёт \(n_0 \sin\alpha_0 = n_1 \sin\alpha_1\), где \(n_0 = n(T_{\text{возд}})\) — показатель преломления воздуха вдали от асфальта, а \(n_1\) и \(\alpha_1\) — показатель преломления и угол движения луча во втором слое. На вторую границу луч падает под углом \(\alpha_1\). Поэтому \[n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2 .\] И так далее. Если в каком-нибудь слое произойдёт полное внутреннее отражение, луч повернёт назад и выйдет под тем же углом \(\alpha_0\). Таким образом, луч испытает полное внутреннее отражение, если будет выполнено условие \[n(T_{\text{возд}}) \sin\alpha_0 < n(T_{\text{асф}})\] или \[\sin\alpha_0 < \frac{n(T_{\text{асф}})}{n(T_{\text{возд}})}. \qquad (*)\]

Человек увидит асфальт «мокрым» на таком расстоянии \(l\) от себя, луч от которого будет двигаться в направлении человека под углом \(\alpha_0\) или меньше. Поэтому асфальт будет казаться мокрым на расстоянии, для которого \[\frac{l}{\sqrt{l^2 + h^2}} < \frac{n(T_{\text{асф}})}{n(T_{\text{возд}})},\] где \(h\) — рост человека. Отсюда \[l > \frac{h}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{n(T_{\text{асф}})}{n(T_{\text{возд}})}\right)^2}}.\] Используя формулу из условия задачи и значения \(T_{\text{возд}} = 30\,^\circ\text{C} = 303\ \text{К}\), \(T_{\text{асф}} = 60\,^\circ\text{C} = 333\ \text{К}\), \(h = 2\ \text{м}\), найдём \(l > 300\ \text{м}\), что согласуется с «бытовыми» наблюдениями и, в частности, с данной в условии задачи фотографией.

Подсказка

Рассмотрите треугольник, образованный осями вращения и точкой пересечения стержней. Найдите его углы через \(\omega t\) и покажите, что сторона, соединяющая точку пересечения с осью B, не меняется со временем.

Ответ

Точка пересечения стержней движется по окружности радиуса \(l\) с центром в точке B. При \(t = \pi/6\omega\) её скорость \(v = 2\omega l\), ускорение \(a = 4\omega^2 l\) и направлено оно к центру окружности.

Решение

Пусть после начала движения прошло некоторое время \(t < \pi/2\omega\). Рассмотрим треугольник AOB, где A и B — концы стержней, вокруг которых они вращаются, O — точка пересечения стержней в этот момент.

Угол OBC равен \(2\omega t\), поэтому угол ABO в треугольнике AOB равен \(\pi - 2\omega t\). Угол OAB равен \(\omega t\), значит, угол AOB равен \[\angle AOB = \pi - \angle OAB - \angle ABO = \pi - \omega t - (\pi - 2\omega t) = \omega t.\] Таким образом, в треугольнике OAB углы \(\angle AOB = \angle OAB\), и, следовательно, этот треугольник равнобедренный, в котором \(AB = BO\) в любой момент времени. Поэтому расстояние от точки B до точки пересечения стержней остаётся одинаковым и равным \(l\). Точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью \(2\omega\) по окружности с центром в точке B и радиусом \(l\). Поэтому величина скорости этой точки не меняется и равна \[v = 2\omega l. \qquad (*)\] Её ускорение центростремительное и равно \[a = 4\omega^2 l. \qquad (**)\] Рассмотренное решение становится неверным при \(t > \pi/2\omega\), поскольку стержни перестают пересекаться. Однако через время, за которое правый стержень совершит ещё один оборот (при \(t > 3\pi/2\omega\) после начала движения), стержни снова начнут пересекаться, причём точка их пересечения будет находиться ниже отрезка AB. Рассуждения, аналогичные приведённым выше, показывают, что траекторией точки пересечения стержней будет нижняя половинка окружности, а её скорость и ускорение будут такими же. Затем (при \(t > 2\pi/\omega\)) оба стержня станут направлены вправо, и движение точки их пересечения повторится.

Таким образом, в течение половины времени, за которое правый стержень совершит два полных оборота (а левый — один), стержни будут пересекаться, в течение второй половины времени — нет. Точка их пересечения движется сначала по верхней половинке окружности с центром в точке B и радиусом \(l\), затем стержни не пересекаются, затем — по нижней половинке той же окружности. Когда стержни пересекаются, скорость и ускорение точки их пересечения постоянны и определяются формулами (*) и (**). Когда стержни не пересекаются, вопрос о скорости и ускорении точки их пересечения бессмысленен.

Подсказка

Поля соленоидов 1 и 3 направлены вдоль одной прямой, поля соленоидов 2 и 4 — вдоль другой, перпендикулярной ей. Чтобы суммарный вектор вращался равномерно, его проекции на эти направления должны быть косинусом и синусом одного и того же угла.

Ответ

\(\varphi_2 = \dfrac{\pi}{2}\), \(\varphi_3 = \pi\), \(\varphi_4 = \dfrac{3\pi}{2}\); поле вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega\).

Решение

Вектор индукции результирующего магнитного поля будет векторной суммой векторов, созданных каждым соленоидом. Поскольку соленоид создаёт магнитное поле, направленное вдоль своей оси, поле соленоидов 1 и 3 направлено горизонтально, а поле соленоидов 2 и 4 — вертикально.

Идём от результата. Если вектор результирующего поля вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\), то его проекции на направления соленоидов 1, 3 и соленоидов 2, 4 описываются соотношениями \[B_{1\text{-}3} = B\cos\omega t, \qquad B_{2\text{-}4} = B\sin\omega t,\] где \(B\) — модуль индукции результирующего поля. Отсюда заключаем, что ток в соленоиде 3 должен быть сдвинут по фазе на угол \(\pi\) по сравнению с током в соленоиде 1 (тогда поле соленоидов 1 и 3 зависит от времени как \(B_{1\text{-}3} = 2B_0\cos\omega t\), \(B_0\) — поле одного соленоида), ток в соленоиде 2 — на угол \(\pi/2\), а ток в соленоиде 4 — на угол \(3\pi/2\) по сравнению с током в соленоиде 1. Тогда вектор индукции магнитного поля в области между соленоидами будет вращаться по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega\).

Подсказка

Поток тепла через сечение стержня равен \(\lambda S\,T'(x)\). Разность потоков, входящего в тонкий слой через левое основание и выходящего через правое, и даёт поток через его боковую поверхность.

Ответ

\(W = \dfrac{\pi r^2 \lambda T_2}{2l}\) — количество теплоты в единицу времени, уходящее через боковые стенки между \(x = l/2\) и \(x = 3l/4\).

Решение

Очевидно, поток тепла по стержню распространяется в положительном направлении оси \(x\): температура левого конца стержня (\(x = 0\)) выше температуры правого (\(x = l\)), поэтому тепло идёт слева направо.

Из закона Фурье легко найти поток тепла, проходящий через каждое сечение стержня: \[Q(x) = q(x)\,S = \lambda\,\frac{T(x + \Delta x) - T(x)}{\Delta x}\,S = \lambda S\,T'(x),\] где \(S\) — площадь поперечного сечения стержня, \(T'(x)\) — производная температуры по координате \(x\) рассматриваемого сечения.

Найдём теперь количество теплоты, уходящее через боковую поверхность стержня. Для этого рассмотрим узкий слой стержня толщиной \(\Delta x\) (см. рис.). Поток тепла через боковую поверхность слоя равен разности потоков, входящего через левое основание слоя и выходящего через правое:

\[\Delta W = Q(x + \Delta x) - Q(x) = \lambda S\,\Delta x\,\frac{T'(x + \Delta x) - T'(x)}{\Delta x} = \lambda S\,\Delta x\,T''(x),\] где \(T''(x)\) — вторая производная температуры по координате. Учитывая, что \(S = \pi r^2\), а площадь боковой поверхности элемента равна \(\Delta S = 2\pi r\,\Delta x\), найдём количество теплоты, уходящее через единицу площади боковой поверхности стержня: \[w = \frac{\Delta W}{\Delta S} = \frac{\lambda r\,T''(x)}{2}.\] Находя вторую производную температуры, получаем, что поток через боковую поверхность не зависит от \(x\) и равен \[w = \frac{\lambda r T_2}{l^2}.\] Поэтому полный поток тепла через боковую поверхность между точками \(x = l/2\) и \(x = 3l/4\) равен произведению \(w\) на площадь боковой поверхности стержня между этими точками, \(S_1 = 2\pi r l/4\): \[W = w\,S_1 = \frac{\lambda r T_2}{l^2}\cdot\frac{2\pi r l}{4} = \frac{\pi r^2 \lambda T_2}{2l}.\] Тот же результат получается и другим способом, как разность потоков тепла через сечения стержня при \(x = 3l/4\) и \(x = l/2\): \(W = Q(3l/4) - Q(l/2)\).

Подсказка

Сначала найдите реакции опор из условий равновесия всей фермы и симметрии. Затем мысленно рассеките ферму по трём стержням и запишите равновесие одной из частей, используя уравнения моментов относительно удобных точек.

Ответ

Стержень 6-9 сжат, сила натяжения \(|F_{6\text{-}9}| = \dfrac{\sqrt{5}}{2}F \approx 22{,}3\ \text{кН}\).

Решение

Из-за симметрии задачи силы реакции в опорах 1 и 10 равны \(N_{1,10} = 3F/2\) каждая. Найдём силу натяжения стержня 6-9. Для этого мысленно «рассечём» ферму по стержням 5-7, 6-8 и 6-9. В этом сечении действуют силы натяжения \(F_{5\text{-}7}\), \(F_{6\text{-}8}\) и \(F_{6\text{-}9}\) (если в результате вычислений какая-то из сил получится отрицательной, это будет означать направление, противоположное показанному на рисунке).

Запишем условие равновесия части фермы 7-8-9-10. Геометрически очевидно, что расстояние от точки A до узла 7 равно \(6l\). Поэтому уравнение моментов относительно точки A даёт \[F_{6\text{-}8}\cdot 2l + F\cdot 6l - N_{10}\cdot 8l = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{6\text{-}8} = 3F.\] Сила \(F_{6\text{-}8}\) оказалась положительной, значит, её направление выбрано верно, и стержень 6-8 растянут. Аналогичное уравнение относительно точки B даёт \[F_{5\text{-}7}\cdot 2l - F\cdot 2l + N_{10}\cdot 4l = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{5\text{-}7} = -2F.\]

Сила \(F_{5\text{-}7}\) оказалась отрицательной, значит, она направлена противоположно рисунку: стержень 5-7 сжат. Теперь из условия равенства нулю проекций сил на горизонтальное направление получаем \[F_{6\text{-}9} = -\frac{\sqrt{5}\,F}{2}.\] Таким образом, стержень 6-9 сжат, его сила натяжения равна \[|F_{6\text{-}9}| = \frac{\sqrt{5}\,F}{2} = 22{,}3\ \text{кН}.\] Очевидно, такая же сила натяжения у симметричного стержня 4-6.

Силу натяжения стержня 1-2 можно найти из условия равновесия шарнира 4 (проекция сил на горизонтальное направление): сила в стержне 1-4 такая же, как в стержне 4-6, и стержень 1-4 сжат. Из условия равновесия шарнира 1 (проекция сил на вертикальное направление) находим, что стержень 1-2 сжат и \[|F_{1\text{-}2}| = 2\sqrt{2}\,F = 56{,}6\ \text{кН}.\]