ИОШ, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Горевшая лампочка может выдать себя и после того, как погаснет: что у неё сохраняется от недавней работы?

Ответ

Достаточно одного захода-выхода.

Решение

Достаточно одного захода-выхода. Нужно войти в комнату, где расположены выключатели, включить два из них, потом один выключить. После этого нужно зайти в комнату, где расположены лампы. Та лампа, которая горит, связана с замкнутым выключателем. Та лампа, которая не горит, но является тёплой, связана с выключателем, который замыкался на некоторое время. Та лампа, которая не горит, но холодная, связана с оставшимся выключателем.

Подсказка

Среднюю плотность жидкости можно найти из её массы и объёма. Затем выразите среднюю плотность через массы и плотности воды и нефти.

Ответ

\(m_{\text{н}} = \dfrac{(V\rho_0 - m)\rho}{\rho_0 - \rho} = 1100\ \text{кг}\).

Решение

Из данных условия находим среднюю плотность загрязнённой жидкости \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m}{V}.\] С другой стороны, среднюю плотность смеси можно найти через плотности компонент. Пусть масса воды в загрязнённой жидкости \(m_{\text{в}}\), масса нефти — \(m_{\text{н}}\). Тогда для средней плотности имеем \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m}{\dfrac{m_{\text{в}}}{\rho_0} + \dfrac{m_{\text{н}}}{\rho}},\] где \(m_{\text{в}}\) и \(m_{\text{н}}\) — массы воды и нефти в смеси. Поскольку \(m = m_{\text{в}} + m_{\text{н}}\), эту формулу можно продолжить так: \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m}{\dfrac{m - m_{\text{н}}}{\rho_0} + \dfrac{m_{\text{н}}}{\rho}}.\] Поэтому \[\frac{m - m_{\text{н}}}{\rho_0} + \frac{m_{\text{н}}}{\rho} = V.\] Отсюда находим \[m_{\text{н}} = \frac{(V\rho_0 - m)\rho}{\rho_0 - \rho} = 1100\ \text{кг}.\]

Подсказка

Соединительные провода почти не имеют сопротивления, поэтому их можно «переставлять» по узлам. Какие резисторы при этом окажутся соединёнными параллельно?

Ответ

\(r_{\text{общ}} = \dfrac{2r}{3}\).

Решение

С помощью деформации проводов данную электрическую цепь можно преобразовать к цепи, показанной на рисунке, т.е. свести к цепи, содержащей только последовательно и параллельно соединённые элементы. Очевидно, общее сопротивление нижнего участка равно \(r\), верхнего (по условию) — \(2r\). Поэтому общее сопротивление данной цепи равно \[r_{\text{общ}} = \frac{2r}{3}.\]

Подсказка

Запишите силы натяжения тросов в воздухе и в воде через плотности контейнеров и силу Архимеда, затем составьте отношения этих сил.

Ответ

Плотность нижнего контейнера \(\rho_2 = \dfrac{k\rho_0}{k - 1} \approx 4333\ \text{кг/м}^3\); плотность верхнего контейнера \(\rho_1 = \dfrac{nk\rho_0}{nk - 2k + n} = 9750\ \text{кг/м}^3\).

Решение

Пусть масса верхнего контейнера \(m_1\), плотность \(\rho_1\), нижнего — соответственно \(m_2\) и \(\rho_2\), плотность воды — \(\rho_0\). Поскольку веса верхнего и нижнего контейнеров в воде будут следующими \[P_1 = (\rho_1 - \rho_0)gV_1, \qquad P_2 = (\rho_2 - \rho_0)gV_2,\] где \(V_1\) и \(V_2\) — объёмы верхнего и нижнего контейнеров, то сила натяжения троса, связывающего контейнеры, уменьшится в \[k = \frac{\rho_2 gV_2}{(\rho_2 - \rho_0)gV_2} = \frac{\rho_2}{\rho_2 - \rho_0}\] раз. Отсюда \[\rho_2 = \frac{k\rho_0}{k - 1} = 4333\ \text{кг/м}^3.\] Найдём теперь плотность верхнего контейнера. Для силы натяжения верхнего троса на воздухе (с учётом того, что сила натяжения верхнего троса в два раза больше силы натяжения троса, связывающего контейнеры) имеем \[T_1 = \rho_1 gV_1 + \frac{1}{2}T_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}T_1 = \rho_1 gV_1.\] Для силы натяжения этого троса в воде имеем аналогично \[\frac{T_1}{n} = (\rho_1 - \rho_0)gV_1 + \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{2}T_1 \quad\Rightarrow\quad T_1\,\frac{2k - n}{2kn} = (\rho_1 - \rho_0)gV_1.\] Деля формулу (**) на формулу (*), получим \[\frac{2k - n}{kn} = 1 - \frac{\rho_0}{\rho_1}.\] Откуда находим \[\rho_1 = \frac{nk\rho_0}{nk - 2k + n} = 9750\ \text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Запишите условие равновесия стержня: сумма горизонтальных проекций сил натяжения на его верхний конец равна нулю.

Ответ

Порвётся часть нити между стержнем и доской (наклонный участок от крючка до гвоздя); \(F = \dfrac{T_0}{\sqrt{5}}\).

Решение

Поскольку участок нити от крючка до гвоздя натянут, а нить нерастяжима, при натягивании нити стержень будет оставаться вертикальным. Но чтобы стержень оставался вертикальным, сумма горизонтальных проекций сил натяжения, действующих на его конец, должна равняться нулю. Отсюда получаем (см. рисунок) \[T = T_1\cos\alpha,\] где \(T\) — сила натяжения горизонтального участка нити (равная внешней силе \(F\)), \(T_1\) — сила натяжения участка нити от крючка до гвоздя, \(\alpha\) — угол наклона этого участка нити к горизонту (поскольку нить намотана на гвоздь, силы натяжения этих участков нити не обязаны быть одинаковыми).

Отсюда следует, что \(T_1 > T\), и, следовательно, при натягивании горизонтального участка нити её наклонный участок натягивается сильнее и быстрее достигнет предельно допустимой силы, которую выдерживает нить. Поэтому наклонный участок нити порвётся первым.

Если нить выдерживает максимальную силу натяжения \(T_0\), то наклонный участок нити порвётся, когда к горизонтальному участку нити будет приложена внешняя сила \[F = T_0\cos\alpha.\] Поскольку расстояние от крючка до стержня вдвое меньше длины стержня, то длина наклонного участка нити \(l\) равна \[l = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}\,x,\] где \(x\) — расстояние от крючка до стержня. Поэтому \[\cos\alpha = \frac{x}{l} = \frac{1}{\sqrt{5}}.\] В результате получаем окончательно значение силы, при которой порвётся нить: \[F = \frac{T_0}{\sqrt{5}}.\]

Подсказка

Тень исчезает, когда угловой размер вертолёта, видимый с земли, становится равен угловому размеру Солнца. Какая связь между размером, высотой и углом получается из этого?

Ответ

Размер вертолёта \(d = h\,\Delta\alpha \approx 9\ \text{м}\) (оценка).

Решение

Будем для оценки считать, что вертолёт имеет форму шара. Очевидно, вертолёт перестаёт отбрасывать тень на землю, когда его угловой размер становится равным угловому размеру Солнца (см. рисунок). В этом положении тень от вертолёта становится точкой. При большей высоте подъёма лучи, идущие от разных точек солнечного диска, будут освещать всю землю под вертолётом, и вертолёт не будет отбрасывать тень. Поэтому \[\frac{d}{h} = \Delta\alpha \quad\Rightarrow\quad d = h\,\Delta\alpha,\] где \(d\) — размер вертолёта, причём угол должен быть задан в радианах. Для угла, заданного в градусах, имеем для размера вертолёта \[d = \frac{\pi}{180}\,\Delta\alpha\, h \approx 9\ \text{м}.\]