ИОШ, 2022/23, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Массовая концентрация — это отношение массы соли к массе раствора. Запишите её для обоих случаев через массы растворов и массу соли в каждом из них.

Ответ

1) \(m_1 = \dfrac{2m(1 - \eta_2)}{\eta_2 - \eta_1} = 7{,}5\text{ кг}\);  2) \(m_2 = \dfrac{m\,\eta_1}{\eta_2 - \eta_1} = 3{,}75\text{ кг}\).

Решение

Пусть массы первого и второго растворов равны \(m_1\) и \(m_2\). Тогда масса соли в первом растворе \(\eta_1 m_1\), во втором — \(\eta_2 m_2\). После добавления массы \(m\) чистой воды концентрация равна концентрации первого раствора \(\eta_1\): \[\frac{\eta_1 m_1 + \eta_2 m_2}{m_1 + m_2 + m} = \eta_1 . \qquad (*)\] Если добавить в раствор массу соли \(2m\), то масса соли станет равной \(\eta_1 m_1 + \eta_2 m_2 + 2m\), а масса раствора \(m_1 + m_2 + 2m\). Концентрация равна концентрации второго раствора \(\eta_2\): \[\frac{\eta_1 m_1 + \eta_2 m_2 + 2m}{m_1 + m_2 + 2m} = \eta_2 . \qquad (**)\] Из этих уравнений находим \[m_1 = \frac{2m(1 - \eta_2)}{\eta_2 - \eta_1} = 7{,}5\text{ кг}, \qquad m_2 = \frac{m\,\eta_1}{\eta_2 - \eta_1} = 3{,}75\text{ кг} .\]

Подсказка

Найдите отношение сопротивлений проволок и распределение тока между ними при параллельном соединении. Какая проволока перегорит первой?

Ответ

1) \(I = 5{,}8\text{ А}\);  2) \(I = 18\text{ А}\).

Решение

Сопротивление проволоки обратно пропорционально площади её поперечного сечения, поэтому сопротивления \(R_1\) тонкой и \(R_2\) толстой проволок одинаковой длины относятся как \[\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = 6{,}25 .\] Значит, при параллельном соединении ток в тонкой проволоке в \(6{,}25\) раза меньше, чем в толстой. Предельные токи в проволоках отличаются в \(I_2/I_1 = 2{,}8\) раза, поэтому при увеличении тока в цепи первой перегорит толстая проволока, когда ток в ней достигнет значения \(I_2 = 5\text{ А}\). В этот момент ток в тонкой проволоке \[\frac{d_1^2}{d_2^2}\,I_2 = 0{,}8\text{ А},\] а ток в цепи \[I_3 = I_2 + \frac{d_1^2}{d_2^2}\,I_2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{d_2^2}\,I_2 = 5{,}8\text{ А} .\] После перегорания толстой проволоки весь этот ток потечёт через тонкую проволоку (ток в цепи не изменится, так как сопротивление предохранителя много меньше сопротивления остальной цепи), которая тоже перегорит.

Если соединить параллельно десять тонких проволок и одну толстую, то первой по-прежнему перегорит толстая проволока, когда ток через неё достигнет значения \(I_2 = 5\text{ А}\). В этот момент ток через каждую тонкую проволоку равен \(\dfrac{d_1^2}{d_2^2}\,I_2 = 0{,}8\text{ А}\). После перегорания толстой ток через каждую тонкую проволоку увеличится на \(0{,}5\text{ А}\) и достигнет \(1{,}3\text{ А}\). Но тонкие проволоки не перегорят, поэтому такой предохранитель разрывает цепь при токе \[I_4 = 10\,I_1 = 18\text{ А} .\]

Подсказка

Сравните скорость тела до и после столкновения. Какую долю механической энергии может забрать лёгкий мячик? Затем учтите, что нижние точки мячика во время удара покоятся на полу.

Ответ

\(h_1 = \dfrac{h}{4}\) — мячик подпрыгнет примерно на четверть высоты, с которой упало тело.

Решение

Никаких неупругих процессов не происходит, поэтому механическая энергия тела может лишь распределиться между телом и мячиком. Поскольку масса мячика много меньше массы тела, а его скорость не может превышать скорость тела (мячик находится ниже тела), он может забрать очень малую долю энергии. Значит, после столкновения тело имеет практически ту же скорость, что и при падении, и подпрыгивает практически на ту же высоту \(h\): \[v = \sqrt{2gh} .\] Верхние точки мячика сразу после столкновения имеют такую же скорость \(v\), а нижние точки, которые во время столкновения находились на полу, имеют нулевую скорость. Поэтому для оценки можно считать, что центр масс мячика сразу после столкновения имеет скорость \(v/2\). Из закона сохранения механической энергии для движения центра масс \[\frac{m\,(v/2)^2}{2} = m g h_1 ,\] где \(m\) — масса мячика, \(h_1\) — высота, на которую он подпрыгнет. Отсюда \[h_1 = \frac{v^2}{8g} = \frac{h}{4} .\]

Подсказка

По графику определите, где газ получает и отдаёт теплоту и как меняется его внутренняя энергия на каждом участке. Какой процесс получится, если процесс замкнётся?

Ответ

Процесс незамкнутый: работа газа за весь процесс \(A = 6\text{ кДж}\), а работа замкнутого цикла Карно с теми же температурами и тем же \(Q_н = 10\text{ кДж}\) равнялась бы \(5\text{ кДж}\). График \(p(V)\) — см. решение.

Решение

В процессе \(a\)–\(b\) внутренняя энергия газа увеличивается без сообщения ему теплоты, поэтому процесс \(a\)–\(b\) — адиабатическое сжатие. В процессе \(b\)–\(c\) внутренняя энергия не меняется, а газу сообщают тепло — изотермическое расширение. Процесс \(c\)–\(d\) адиабатический, с уменьшением внутренней энергии — адиабатическое расширение. Процесс \(d\)–\(e\) изотермический с отниманием тепла — изотермическое сжатие.

Из графика следует, что начальное состояние \(a\) и конечное \(e\) лежат на одной изотерме. Чтобы проверить, совпадают ли они (и тогда процесс является циклом Карно), найдём работу газа за весь процесс двумя способами: по первому началу термодинамики и по КПД цикла Карно.

По первому началу термодинамики для всего процесса \(Q = \Delta U + A\). Так как изменение внутренней энергии за весь процесс равно нулю, \(A = Q = 6\text{ кДж}\).

С другой стороны, если процесс замкнут, он является циклом Карно, и работа газа \[A_{Карно} = \eta\,Q_н = \frac{T_н - T_х}{T_н}\,Q_н = 0{,}5\,Q_н = 5\text{ кДж},\] где \(Q_н = 10\text{ кДж}\) (как следует из графика), \(\eta = 0{,}5\). Поскольку \(A_{a-b-c-d-e} > A_{Карно}\), процесс незамкнутый. Если бы в процессе \(d\)–\(e\) над газом совершалась большая работа и график процесса \(d\)–\(e\) дошёл бы до значения \(5\text{ кДж}\), процесс был бы замкнутым. Следовательно, нижняя изотерма не доходит до начального состояния.

Подсказка

Представьте, что одновременно разрываются все соединительные провода и переставляются соседние конденсаторы. Как сделать так, чтобы одно движение разрывало много проводов сразу?

Ответ

Устройство — коммутатор на скользящих контактах (см. решение). Напряжение на батарее увеличится в \(2023\) раза, энергия батареи не изменится.

Решение

Основную идею работы такого устройства можно разглядеть, посмотрев на параллельно соединённые конденсаторы (см. верхний рисунок; вместо 2023 конденсаторов нарисовано семь). Если одновременно разорвать все проводники, соединяющие конденсаторы, и одновременно поменять соединение двух соседних конденсаторов для правильной полярности (см. второй рисунок; нужные изменения цепи показаны красным), то конденсаторы окажутся соединёнными последовательно с теми же самыми зарядами, которые были у параллельно соединённых конденсаторов. Значит, нужно устройство, которое одновременно разрывает много проводов, расположенных достаточно далеко друг от друга, и меняет соединение ряда проводов. Такое устройство можно сконструировать, используя скользящие контакты.

Возьмём две параллельно расположенные металлические шины (толстые прямые провода), прикрепим их параллельно друг другу к диэлектрической пластинке и сделаем в них напротив друг друга 2022 одинаковых разреза — по числу промежутков между 2023 параллельными конденсаторами. К каждой паре напротив расположенных кусков шин припаяем конденсатор. Крайние участки верхней и нижней шин соединим с клеммами источника. Теперь нужно предложить выключатель, который может либо замкнуть концы разрыва в одной и той же шине, либо замкнуть их в «шахматном порядке»: верхний–нижний–верхний–нижний и т.д.

Используем скользящие контакты. Поместим между шинами и подставкой тонкую диэлектрическую пластинку с приклеенными к ней металлическими пластинками — скользящими контактами определённой формы. Эти контакты замыкают разрезы в шинах: нижние имеют форму прямоугольников, верхние — форму «зигзага». Пластинка со скользящими контактами может двигаться относительно шин с конденсаторами. В положении, показанном на рисунке, скользящие контакты замыкают все разрезы в шинах, и конденсаторы соединены параллельно.

Сдвинем теперь пластинку со скользящими контактами к одной из шин. Благодаря «зигзагообразному» расположению контактов они станут замыкать каждый правый контакт верхней шины с каждым левым контактом нижней. В результате конденсаторы соединены уже последовательно с сохранением первоначального заряда на каждом конденсаторе.

Напряжение \(U\) на батарее конденсаторов при переключении (устройство в электротехнике называют коммутатором — переключателем) увеличится в \(2023\) раза по сравнению с напряжением источника \(\varepsilon\). При соединении с источником параллельных конденсаторов на всех будут напряжения \(u = \varepsilon\), которые после отключения источника и переключения коммутатора складываются: \(U = 2023\,\varepsilon\).

Энергия батареи при этом не меняется, поскольку при переключении коммутатора работа не совершается. До переключения конденсаторы соединены параллельно, эквивалентная ёмкость \(C_{пар} = 2023\,c\), напряжение на батарее — \(\varepsilon\), поэтому энергия \[W_{нач} = \frac{2023\,c\,\varepsilon^2}{2} .\] После переключения \(C_{посл} = \dfrac{c}{2023}\), заряд батареи \(q = c\varepsilon\) не меняется (батарея отключена от источника), и \[W_{кон} = \frac{q^2}{2C_{посл}} = \frac{2023\,c\,\varepsilon^2}{2} = W_{нач} .\] Описанную конструкцию придумал в середине XIX века французский инженер Гастон Планте (изобретатель свинцово-кислотного аккумулятора) для получения высоких напряжений.

Подсказка

Рассмотрите малый интервал времени: за него кривошип и втулка А смещаются на малую величину, и через подобие треугольников найдите смещение ползуна В.

Ответ

1) \(v_B = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\,l\omega\);  2) \(a_B = \dfrac{2}{3}\,l\omega^2\) (скорость и ускорение направлены вдоль направляющих).

Решение

Пусть после положения, показанного на рисунке, прошёл малый интервал времени \(\Delta t\). Найдём новое положение точки B′ и её перемещение \(BB'\). Поскольку втулка А связана с кривошипом, а он в начальном положении параллелен направляющим, перемещение втулки практически перпендикулярно отрезку ЕВ и равно \(AA' = l\omega\,\Delta t\). Перемещение середины кулисы \(AA''\) (которое практически параллельно ЕВ, так как кулиса перемещается в поворотной втулке А), можно найти как \[AA'' = AA'\,\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\,AA' ,\] где \(\alpha = 30^\circ\) (см. данные условия). Перемещение ползуна В вдвое больше перемещения середины кулисы: \[BB' = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,AA' = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,l\omega\,\Delta t .\] Отсюда скорость ползуна В \[v_B = \frac{BB'}{\Delta t} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,l\omega .\]

Для нахождения мгновенного ускорения рассмотрим два малых интервала \(\Delta t\) — предшествующий положению, показанному на рисунке, и последующий за ним. Перемещения середины кулисы \(A'A''\) и \(A''A'\) за оба интервала одинаковы, а перемещения точки В различны, так как предшествующее перемещение дальше от отрезка ЕВ, чем последующее (здесь использовано подобие треугольников): \[B''B = \frac{2\sqrt{3}\,l}{\sqrt{3}\,l - AA'}\cdot A'A'' , \qquad BB' = \frac{2\sqrt{3}\,l}{\sqrt{3}\,l + AA'}\cdot A'A'' ,\] где \(A'A'' = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,AA'\). Вычитая разности перемещений и деля их на \(2\Delta t^2\) (изменение скорости найдено за интервал \(2\Delta t\)), получаем мгновенное ускорение ползуна \[a = \frac{B''B - BB'}{2\,\Delta t^2} = \frac{2(AA')^2}{3\,l\,\Delta t^2} \qquad (\text{при } AA' \ll \sqrt{3}\,l).\] Поскольку \(AA' = l\omega\,\Delta t\), окончательно \[a = \frac{2}{3}\,l\omega^2 .\]