ИОШ, 2022/23, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Обозначьте массу пластины до сверления и массу вещества, удалённого в первом случае. Во втором случае удалено вдвое больше вещества. Составьте систему уравнений для массы пластины в двух случаях.

Ответ

\(\rho = \dfrac{2m_1 - m_2}{V}\).

Решение

Пусть масса пластины до сверления равна \(M\), а масса вещества, удалённого в первом случае, равна \(m\). Тогда во втором случае удалена масса \(2m\), и \[m_1 = M - m, \qquad m_2 = M - 2m .\] Умножая первое уравнение на 2 и вычитая из него второе, получим \(M = 2m_1 - m_2\). Плотность пластины \[\rho = \frac{M}{V} = \frac{2m_1 - m_2}{V} .\]

Подсказка

Составьте уравнение теплового баланса нагревателя: мощность идёт на нагрев всей воды, проходящей через него. Какая масса воды проходит через нагреватель за время \(\Delta t\), если из водопровода поступает масса \(m\), а доля возвращаемой воды известна?

Ответ

\(\Delta T_1 = \dfrac{35}{36}\,\Delta T\).

Решение

За малый интервал времени \(\Delta t\) из водопровода на станцию поступает масса воды \(m\); такая же масса нагретой воды уходит со станции. Нагреватель нагревает всю воду, проходящую через него, массой \(m + m_0\), где \(m_0\) — масса воды, возвращаемой со станции в поток. Если доля возвращаемой воды равна \(f\), то \(m_0 = f\,(m + m_0)\), откуда \(m + m_0 = \dfrac{m}{1 - f}\).

В первом случае \(f = \dfrac{1}{10}\), \(m + m_0 = \dfrac{10}{9}\,m\); во втором \(f = \dfrac{1}{8}\), \(m + m_0 = \dfrac{8}{7}\,m\). Уравнения теплового баланса нагревателя: \[c\,\frac{10}{9}\,m\,\Delta T = P\,\Delta t, \qquad c\,\frac{8}{7}\,m\,\Delta T_1 = P\,\Delta t .\] Деля первое уравнение на второе, получим \[\frac{\Delta T}{\Delta T_1} = \frac{9}{10}\cdot\frac{8}{7} = \frac{36}{35}, \qquad \text{откуда} \qquad \Delta T_1 = \frac{35}{36}\,\Delta T .\]

Подсказка

Выразите расстояние между зеркалами через длину никелевой пластины \(x\) и длину иридиевых пластин \(l\). Какое условие на удлинения пластин делает расстояние между зеркалами неизменным?

Ответ

\(x = \dfrac{2\alpha_1 l}{\alpha_2} \approx 9{,}7\text{ см}\).

Решение

Расстояние между зеркалами равно длине верхнего иридиевого стержня плюс расстояние от его левого конца до левого зеркала, которое, в свою очередь, равно длине нижнего иридиевого стержня минус длина никелевого стержня: \[\Delta x = l + (l - x) = 2l - x .\] Здесь \(l\) — длина иридиевых стержней, \(x\) — длина никелевого стержня. При тепловом расширении длина иридиевого стержня увеличивается на \(\delta l\), а никелевого — на \(\delta x\). Тогда расстояние между зеркалами изменится на \[\delta(\Delta x) = 2\,\delta l - \delta x .\] Расстояние не меняется, если \[2\,\delta l = \delta x .\] Используя указание к условию, при нагреве на \(\Delta T\) получим \(2\alpha_1 l\,\Delta T = \alpha_2 x\,\Delta T\), откуда \[x = \frac{2\alpha_1 l}{\alpha_2} \approx 9{,}7\text{ см} .\]

Подсказка

Сопротивление провода выразите через его длину и площадь сечения. Длину спирали найдите, рассматривая её как набор окружностей с возрастающими радиусами.

Ответ

\(P = \dfrac{U^2 R}{4\rho N^3}\) (эквивалентно \(P = \dfrac{U^2 S}{\pi\rho R N}\)).

Решение

Поскольку спираль свёрнута плотно, диаметр проволоки равен \(d = \dfrac{R}{N}\), а площадь её сечения \[S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi R^2}{4N^2} .\] Так как витков очень много, каждый из них мало отличается от окружности. Поэтому спираль состоит из \(N\) окружностей с радиусами \(r_k = k\dfrac{R}{N}\), \(k = 1, \dots, N\), и её длина \[L = 2\pi\sum_{k=1}^{N} r_k = \frac{2\pi R}{N}\,(1 + 2 + \dots + N) = \frac{2\pi R}{N}\cdot\frac{N(N+1)}{2} = \pi R (N+1) \approx \pi R N .\] Сопротивление спирали \[r = \frac{\rho L}{S} = \frac{\rho\pi R N}{S} .\] Выразив площадь сечения через \(R\) и \(N\), получим \(r = \dfrac{4\rho N^3}{R}\). По закону Джоуля — Ленца мощность \[P = \frac{U^2}{r} = \frac{U^2 S}{\pi\rho R N} = \frac{U^2 R}{4\rho N^3} .\]

Подсказка

Постройте изображение \(S\) в зеркале для двух положений зеркала. Какую траекторию описывает изображение, и с какой угловой скоростью оно вращается по ней?

Ответ

\(v = 1\text{ м/с}\);  \(a = 2\text{ м/с}^2\).

Решение

Построим изображение источника \(S\) в исходном положении зеркала (\(S'\)) и после поворота зеркала на угол \(\alpha\) (\(S''\)).

Треугольники \(SO'O\) и \(SS''S'\) подобны: у них общий угол \(\alpha\), а прилежащие к нему стороны пропорциональны с коэффициентом 2, так как изображение источника находится вдвое дальше от источника, чем зеркало: \[\frac{SS'}{SO} = \frac{SS''}{SO'} = 2 .\] Угол \(SO'O\) прямой (изображение лежит на продолжении перпендикуляра, опущенного из источника на зеркало), поэтому прямым является и угол \(SS''S'\) при любом угле поворота зеркала. Значит, изображение движется по окружности, для которой отрезок \(SS'\) является диаметром. Радиус этой окружности \(R = SO = d\).

Если зеркало повернулось на угол \(\alpha\), то \(OS = OS''\) и \(\angle OSS'' = \angle OS''S = \alpha\), поэтому центральный угол \(\angle S'OS'' = 2\alpha\). Изображение вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega' = 2\omega\). Скорость изображения постоянна и равна \[v = \omega' R = 2\omega d = 1\text{ м/с} .\] Так как изображение движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, его ускорение центростремительное: \[a = \omega'^2 R = 4\omega^2 d = 2\text{ м/с}^2 .\]

Подсказка

Рассмотрите малый интервал времени: за него стержень поворачивается на малый угол, а колечко смещается одновременно по стержню и по полуокружности. Найдите это смещение и сравните с углом поворота стержня.

Ответ

\(\omega_К = 2\omega\) при любом \(\alpha\), в том числе при \(\alpha = 30^\circ\); угловая скорость колечка не зависит от \(\alpha\), поэтому ни при каких углах она не больше, чем при других.

Решение

Рассмотрим положение стержня, когда угол между ним и диаметром \(OA\) равен \(\alpha\), и малый интервал времени \(\Delta t\). Стержень поворачивается на угол \(\Delta\alpha = \omega\,\Delta t\) (штриховая линия на рисунке). Угол между стержнем и полукольцом в этом положении равен \(90^\circ - \alpha\). Угол между стержнем и радиусом \(CK\), проведённым к колечку, равен \(\alpha\) (треугольник \(OCK\) равнобедренный), а полукольцо перпендикулярно радиусу \(CK\). Поэтому смещение \(\Delta x\) колечка, принадлежащее одновременно стержню и полукольцу, равно \[\Delta x = \frac{r\,\Delta\alpha}{\cos\alpha} = \frac{r\,\omega\,\Delta t}{\cos\alpha},\] где \(r\) — расстояние от оси вращения до колечка. Из равнобедренного треугольника \(OCK\) или прямоугольного треугольника \(OAK\) \[r = 2R\cos\alpha ,\] где \(R\) — радиус полукольца. Следовательно, \(\Delta x = 2R\omega\,\Delta t\) не зависит от \(\alpha\). Линейная скорость колечка равна \(2R\omega\), а угловая скорость \[\omega_К = 2\omega .\] Таким образом, угловая скорость колечка не зависит от угла \(\alpha\) и равна удвоенной угловой скорости стержня.