ИОШ, 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Одинаковые шкалы означают, что жёсткость пружины пропорциональна пределу шкалы. Что одинаково у пружин при последовательном соединении?

\(f_1 = \dfrac{F_1^2}{F_2^2}\,f_2 = 2{,}4\ \text{Н}\).

Поскольку размеры шкал одинаковы, то коэффициенты жёсткости пружин относятся так же, как пределы шкал: \[\frac{k_1}{k_2} = \frac{F_1}{F_2} \quad\Rightarrow\quad k_1 = \frac{F_1}{F_2}\,k_2.\] При последовательном соединении динамометров сила упругости будет одинакова. Эта сила по показаниям второго динамометра (который имеет сейчас пружину с жёсткостью \(k_1\)) будет равна \[F = k_1\,\Delta x_2,\] где \(\Delta x_2\) — удлинение пружины второго динамометра при последовательном соединении динамометров и их растяжении. Подставляя сюда коэффициент жёсткости, получим \[F = \frac{F_1}{F_2}\,k_2\,\Delta x_2.\] Но \(k_2\,\Delta x_2\) — это показания второго динамометра, которые по условию составляют значение \(f_2\). Поэтому \[F = \frac{F_1}{F_2}\,f_2.\] Рассматривая аналогично удлинение первого динамометра, получим \[F = \frac{F_2}{F_1}\,f_1.\] Приравнивая эти значения, получим \[f_1 = \frac{F_1^2}{F_2^2}\,f_2 = 2{,}4\ \text{Н}.\]

Сопротивление проводника зависит от его длины и площади сечения. Какие из этих величин меняются при переключении фольги, а какие нет?

\(r = \sqrt{r_1 r_2}\); не зависит от размера квадрата.

Пусть удельное сопротивление материала фольги равно \(\rho\), толщина — \(d\), длина короткой стороны прямоугольника из фольги — \(a\), длинной — \(b\). Тогда сопротивление фольги, подключённой к электродам короткой стороной, равно \[r_1 = \frac{\rho b}{a d},\] длинной — \[r_2 = \frac{\rho a}{b d}.\] Умножая эти формулы друг на друга, найдём \[\rho = d\sqrt{r_1 r_2}.\] Когда из той же фольги вырезается квадрат со стороной \(x\) и подключается своими сторонами к электродам, его сопротивление будет равно \[r = \frac{\rho x}{x d} = \frac{\rho}{d} = \sqrt{r_1 r_2}.\] От размера квадрата это сопротивление не зависит.

Запишите тепловой баланс для каждого калориметра. Учтите, что в первом и во втором калориметрах масса холодной воды и масса долитой горячей воды различны.

Комнатная температура \(t_0 = 23\,^\circ\text{C}\); температура горячей воды \(t_{\text{гор}} = 89\,^\circ\text{C}\).

Пусть масса воды, которая помещается в калориметр, равна \(m\). Тогда уравнения теплового баланса для воды в калориметрах дают \[c\,\frac{m}{3}\,(t_1 - t_0) = c\,\frac{2m}{3}\,(t_{\text{гор}} - t_1), \qquad c\,\frac{m}{2}\,(t_2 - t_0) = c\,\frac{m}{2}\,(t_{\text{гор}} - t_2),\] где \(t_0\) — комнатная температура, \(t_{\text{гор}}\) — температура горячей воды. Решая эту систему уравнений, получим \[t_0 = 4t_2 - 3t_1 = 23\,^\circ\text{C}, \qquad t_{\text{гор}} = 3t_1 - 2t_2 = 89\,^\circ\text{C}.\]

Луч зрения до горизонта касается поверхности Земли. Какой прямоугольный треугольник образуют радиус Земли, касательная и расстояние от центра Земли до наблюдателя?

\(x = \sqrt{2Rh} \approx 11{,}3\) км.

Построение хода лучей, идущих от горизонта к наблюдателю, выполнено на рисунке.

Из рисунка находим, что расстояние \(x\) от наблюдателя до горизонта определяется следующим образом по теореме Пифагора: \[x = \sqrt{(R + h)^2 - R^2} = \sqrt{R^2 + 2Rh + h^2 - R^2} \approx \sqrt{2Rh},\] где \(h\) — высота наблюдателя над уровнем моря (здесь мы пренебрегли малым слагаемым \(h^2\) по сравнению с величиной \(2Rh\)). Таким образом, расстояние до видимого горизонта пропорционально квадратному корню из высоты, на которой находится наблюдатель над уровнем моря. Для высоты \(h = 10\) метров (высота палубы барка «Крузенштерн» плюс рост человека) это расстояние равно \[x = \sqrt{2Rh} \approx 11{,}3\ \text{км}.\]

Подумайте, как ведёт себя бутылка при давлении внутри выше и ниже атмосферного, и что происходит, когда давление в системе сравнивается с атмосферным.

Бутылка начинает сминаться при давлении, равном атмосферному, и полностью сминается при температуре \(t_1 = -4\,^\circ\text{C}\) (\(T_1 = 269\) К).

Чтобы объяснить данный в условии эксперимент, нужно учесть, что сосуд имеет жёсткие стенки и не может ни сжиматься, ни расширяться при изменении давления. А бутылка изготовлена из мягкого, но нерастяжимого пластика, т.е. способна сминаться, если давление воздуха внутри меньше атмосферного, но не может расширяться, если давление воздуха внутри больше атмосферного (но, конечно, не превосходит предела прочности пластика, из которого изготовлена бутылка). Далее нужно предположить, что первоначальное давление в сосудах превосходит атмосферное. Действительно, при охлаждении воздуха его давление падает, но пока оно больше атмосферного, объём бутылки и сосуда меняться не будет, поскольку атмосферное давление не сможет сжать бутылку. Следовательно, до температуры \(t = 50\,^\circ\text{C}\) с воздухом в сосуде и в бутылке происходит изохорическое охлаждение с уменьшением давления. Начиная с температуры \(t = 50\,^\circ\text{C}\) при охлаждении воздуха по условию его давление перестаёт меняться, значит, должен уменьшаться объём воздуха. Это можно объяснить, если допустить, что давление газа в сосудах достигло при этой температуре атмосферного давления, и бутылка начинает сминаться под действием атмосферного давления. И давление будет оставаться равным атмосферному, пока бутылка полностью не сомнётся. После этого объём воздуха уменьшаться уже не может, поэтому снова начнёт уменьшаться давление воздуха. Это значит, что при той температуре, которую нужно найти, бутылка полностью смялась, т.е. суммарный объём сосудов стал равен \(V_1 = 5\ \text{л}\).

Напишем газовые законы, отвечающие этой схеме охлаждения воздуха в сосуде и в бутылке. От температуры \(t = 50\,^\circ\text{C}\) до неизвестной температуры \(t_1\) с газом происходит изобарический процесс. Поэтому \[\frac{V_1 + V_2}{T_0} = \frac{V_1}{T_1},\] где \(V_2 = 1\ \text{л}\) — объём бутылки, \(T_0 = 273 + 50\ \text{К}\) и \(T_1\) — абсолютные температуры, отвечающие началу и концу изобарического процесса. Отсюда находим, что \(T_1 = 269\ \text{К}\), или \(t_1 = -4\,^\circ\text{C}\).

Стержень нерастяжим, значит, проекции скоростей его концов на него равны. Как из этого связать ускорения ползунов в первый момент?

\(a_A = \dfrac{g\cos^2\alpha}{1 + \sin^2\alpha}\),  \(a_B = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \sin^2\alpha}\).

Силы, действующие на ползуны, показаны на рисунке.

Это силы тяжести \(m\vec g\) и \(2m\vec g\), силы реакции направляющих \(\vec N_A\) и \(\vec N_B\), направленные перпендикулярно направляющим, поскольку они гладкие, и силы \(\vec T_A\) и \(\vec T_B\) со стороны стержня, которые могут быть направлены только вдоль стержня (так как стержень не имеет массы). Поэтому второй закон Ньютона для ползунов даёт \[m\vec a_A = m\vec g + \vec N_A + \vec T_A, \qquad 2m\vec a_B = 2m\vec g + \vec N_B + \vec T_B,\] или в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси \[m a_A = mg - T\sin\alpha, \qquad 2m a_B = T\cos\alpha.\] Здесь учтено, что модули сил натяжения стержня, действующих на ползуны, одинаковы. Найдём связь ускорений ползунов. Поскольку стержень нерастяжим, проекции скоростей концов на стержень равны друг другу. Поэтому \[v_A\sin\alpha = v_B\cos\alpha.\] Таким образом, в любой момент времени скорости концов связаны соотношением \[v_B = v_A\tan\alpha.\] А значит, такой же является и связь ускорений в самый первый момент времени после отпускания ползунов: \[a_B = a_A\tan\alpha.\] Решая систему уравнений, получим \[a_A = \frac{g\cos^2\alpha}{1 + \sin^2\alpha}, \qquad a_B = \frac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \sin^2\alpha}.\]