ИОШ, 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Разбейте растянутое кольцо на прямолинейные участки между цилиндрами и участки, охватывающие цилиндры. Какой суммарной длины получаются эти участки?

Ответ

\(N = (2\pi-1)\,kR \approx 5{,}28\,kR\).

Решение

Найдём удлинение кольца. Его длина складывается из трёх участков длиной \(2R\) между цилиндрами (на рисунке показаны красным) и трёх участков, касающихся цилиндров (зелёный). Поскольку эти участки опираются на угол, составляющий треть полного угла, их суммарная длина равна \(2\pi R\). Поэтому длина растянутого кольца равна \[L = 6R + 2\pi R.\] Длина недеформированного кольца \(7R\), значит, удлинение составляет \[\Delta l = (2\pi-1)R,\] и сила натяжения кольца по закону Гука \[F = k\,\Delta l = k(2\pi-1)R.\] Силы взаимодействия цилиндров \(N\) направлены так же, как силы натяжения кольца, поэтому они равны силе натяжения кольца: \[N = F = (2\pi-1)\,kR \approx 5{,}28\,kR.\]

Подсказка

Запишите вклады бензина и этанола в теплоту сгорания смеси: \(m_Б q_Б\) и \(m_Э q_Э\) — и используйте условие «втрое больше» и то, что \(m_Б + m_Э = m\).

Ответ

1) \(w_Б = \dfrac{3q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}66\), \(w_Э \approx 0{,}34\);  2) \(q \approx 39\) МДж/кг.

Решение

Рассмотрим массу \(m\) смеси бензина и биоэтанола. Для масс бензина \(m_Б\) и этанола \(m_Э\) в смеси выполнены условия \[m = m_Б + m_Э, \qquad m_Б q_Б = 3\,m_Э q_Э.\] Решая эту систему, получим \[m_Б = \frac{3q_Э\,m}{3q_Э+q_Б}, \qquad m_Э = \frac{q_Б\,m}{3q_Э+q_Б}.\] Отсюда массовые доли бензина и этанола в смеси \[w_Б = \frac{m_Б}{m} = \frac{3q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}66, \qquad w_Э = \frac{m_Э}{m} = \frac{q_Б}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}34.\] Удельная теплота сгорания смеси \[q = \frac{m_Б q_Б + m_Э q_Э}{m} = w_Б q_Б + w_Э q_Э = \frac{4\,q_Б\,q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 39{,}0~\text{МДж/кг}.\]

Подсказка

Выясните, какое давление воды действует под центральной частью и под остальной частью поршня, и как при опускании центральной части изменяется объём воды, вытесняемый ею.

Ответ

1) \(m = \dfrac{1}{3}\rho h S\);  2) центральная часть опустится на \(\Delta x = \dfrac{2}{3}h\), остальная часть поршня поднимется на \(\Delta x_1 = \dfrac{1}{3}h\) относительно сосуда.

Решение

Пусть масса поршня равна \(M\). Тогда под поршнем создаётся давление воды \[p = \frac{Mg}{S}.\] При опускании центральной части давление под остальной частью поршня остаётся таким же — пропорционально изменяются масса остальной части и её площадь.

Пусть максимальная масса тела, при которой центральная часть ещё не выпадает из поршня, равна \(m\). Тогда для самого нижнего положения центральной части (см. рисунок) давление воды под центральной частью поршня (с телом) больше давления под остальной частью поршня на \(\rho g h\): \[p_1 = p + \rho g h,\] где \(h\) — толщина поршня. Это давление уравновешивает массу центральной части поршня и дополнительную массу тела, причём массу тела уравновешивает именно избыточное давление воды под центральной частью по сравнению с её давлением под остальной частью поршня: \[\frac{M}{3}\,g + mg = p\,\frac{S}{3} + \rho g h\,\frac{S}{3} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{1}{3}\rho h S.\]

Найдём перемещение центральной части поршня относительно сосуда. Пусть это перемещение равно \(\Delta x\). Тогда центральная часть при своём перемещении вытесняет объём воды \(\Delta x\,S/3\). Этот объём должен разместиться под остальной частью поршня, поднимая её: \[\Delta x\,\frac{S}{3} = \Delta x_1\,\frac{2S}{3},\] где \(\Delta x_1\) — перемещение остальной части поршня относительно сосуда. Отсюда \(\Delta x_1 = \dfrac{\Delta x}{2}\). Поскольку перемещение центральной части относительно остального поршня равно толщине поршня \(h\), получаем \[h = \Delta x + \Delta x_1 = \frac{3}{2}\Delta x \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{2}{3}h,\qquad \Delta x_1 = \frac{1}{3}h.\]

Подсказка

Найдите угловые скорости обеих стрелок и подумайте, сколько раз за сутки минутная стрелка делает поворот относительно часовой на полный оборот; за каждый такой оборот стрелки дважды перпендикулярны.

Ответ

60 раз.

Решение

После порчи часов угловая скорость часовой стрелки стала равна \(\omega_ч = -\dfrac{2\pi}{4}\) рад/ч. За сутки часовая стрелка сделает 6 целых оборотов, а минутная (идущая с «правильной» угловой скоростью) — 24 целых оборота. Поэтому в начале и в конце суток положения стрелок совпадают.

За каждый оборот минутной стрелки относительно часовой стрелки они дважды оказываются перпендикулярны друг другу. Количество оборотов минутной стрелки относительно часовой равно количеству встреч этих стрелок за сутки (кроме встречи, с которой сутки начались). Так как часовая стрелка движется навстречу минутной и совершает за сутки 6 оборотов, а минутная — 24, за сутки произойдёт \(6+24 = 30\) встреч. Значит, за сутки минутная стрелка будет перпендикулярна часовой \(2\cdot 30 = 60\) раз.

Подсказка

Ток через омметр при измеряемом сопротивлении \(R_x\) равен \(\varepsilon_0/(r+R_x)\), где \(r\) — внутреннее сопротивление. Для диода учтите, что при обратной полярности тока нет, а при прямой на диоде падает напряжение открытия.

Ответ

1) \(r = \dfrac{\varepsilon_0}{I_0} = 1500\) Ом;  2) \(R_x = 1500\) Ом;  3) при обратной полярности показания бесконечны (\(R_x = \infty\)), при прямой — \(R_x = 3000\) Ом.

Решение

Омметр измеряет силу тока через измеряемый резистор и «пересчитывает» её в его сопротивление, зная напряжение внутреннего источника питания и его сопротивление по формуле \[I = \frac{\varepsilon_0}{r + R_x},\] где \(R_x\) — величина измеряемого сопротивления, \(r\) — внутреннее сопротивление омметра (сопротивление источника, амперметра и добавочного сопротивления). Если подобрать добавочное сопротивление так, что при замкнутых накоротко клеммах амперметр покажет предел шкалы, то предельному току омметра будет соответствовать нулевое измеряемое сопротивление (нуль шкалы омметра). Для нашего омметра внутреннее сопротивление должно быть равно \[r = \frac{\varepsilon_0}{I_0} = 1500~\text{Ом}.\] Нулевому току соответствует бесконечно большое измеряемое сопротивление — максимальный отсчёт шкалы омметра. Шкала нелинейна.

Середина шкалы амперметра отвечает току \(I_0/2\): \[\frac{I_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{r + R_x} \quad\Rightarrow\quad R_x = \frac{2\varepsilon_0}{I_0} - r = r = 1500~\text{Ом}.\]

При подключении омметра к диоду отрицательной полярностью ток через диод (и, следовательно, через амперметр) равен нулю, и омметр покажет бесконечно большое сопротивление.

При подключении омметра положительной полярностью показания будут ненулевыми: при нулевом токе к диоду прикладывалось бы напряжение \(\varepsilon_0 = 1{,}5\) В, что больше напряжения открытия диода \(U_0 = 1\) В (вертикальный участок на вольтамперной характеристике). Поэтому напряжение на диоде равно напряжению открытия \(U_0\), а ток определяется законом Ома для источника, амперметра и добавочного сопротивления. На них приходится напряжение \(\varepsilon_0 - U_0\), поэтому \[I = \frac{\varepsilon_0 - U_0}{r}.\] Именно такой ток измерит амперметр, и ему соответствует измеряемое сопротивление \[R_x = \frac{U_0}{I} = \frac{U_0\,r}{\varepsilon_0 - U_0} = 3000~\text{Ом}.\]

Подсказка

Равновесие нарушается, когда сила реакции между двумя нижними трубами обращается в нуль. Запишите условие равновесия верхней трубы, а затем нижней.

Ответ

На грани раскатывания нижних труб \(R/r = 1+2\sqrt{7} \approx 6{,}29\).

Решение

Если бы три внутренние трубы находились на гладкой горизонтальной поверхности (в положении, показанном на рисунке в условии: две внизу, одна сверху между ними), они не смогли бы находиться в равновесии, поскольку на нижние трубы со стороны верхней действовала бы сила с горизонтальной составляющей, которую нечем компенсировать. Если же три внутренние трубы расположены в узкой внешней трубе, им некуда раскатиться, и они находятся в равновесии. Некоторое соотношение радиусов отвечает границе между этими случаями.

Это соотношение находим из условия равновесия труб. Указанием на нарушение равновесия служит обращение в нуль силы реакции между малыми трубами. На верхнюю трубу действуют сила тяжести и две силы реакции со стороны двух нижних труб. Эти силы одинаковы (из симметрии) и направлены под углом \(30^\circ\) к вертикали (центры малых труб образуют равносторонний треугольник). Условие равновесия верхней трубы даёт \[N = \frac{mg}{2\cos 30^\circ} = \frac{mg}{\sqrt{3}}.\] На каждую из двух нижних труб действуют: сила тяжести \(mg\), сила реакции со стороны верхней трубы \(N\), сила реакции внешней трубы \(N_1\) (перпендикулярно поверхности внешней трубы, к её центру) и сила реакции между двумя нижними трубами \(F\) (горизонтально). Условие равновесия нижней трубы в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси: \[F + N\sin 30^\circ = N_1\sin\alpha, \qquad mg + N\cos 30^\circ = N_1\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол между силой \(N_1\) и вертикалью. Геометрически очевидно, что \[\sin\alpha = \frac{r}{R-r}, \qquad \cos\alpha = \frac{\sqrt{R^2-2Rr}}{R-r}.\] Из этих уравнений находим силу реакции между нижними трубами: \[F = \frac{mg}{2\sqrt{3}\cos\alpha}\left(3\sqrt{3}\,r - \sqrt{R^2-2Rr}\right).\] Сила реакции между нижними трубами обращается в нуль (и нижние трубы раскатываются), если \[3\sqrt{3}\,r - \sqrt{R^2-2Rr} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(\frac{R}{r}\right)^2 - 2\,\frac{R}{r} - 27 = 0.\] Решая это квадратное уравнение, получаем границу для соотношения радиусов труб: \[\frac{R}{r} = 1+2\sqrt{7} \approx 6{,}29.\]