ИОШ, 2023/24, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Выделившаяся в элементе цилиндров теплота уносится протекающей водой. Сопротивление элемента длины \(\Delta l\) найдите, мысленно разрезав его по образующей и развернув: получатся две параллельные пластины.

Ответ

\(\dfrac{\Delta T}{\Delta l} = \dfrac{U^2}{c\,\rho_0\,\rho\,v\,(R_2-R_1)^2}\).

Решение

Рассмотрим малый элемент цилиндров длиной \(\Delta l\). За малый интервал времени \(\Delta t\) в нём выделится количество теплоты \[\delta Q = \frac{U^2}{r}\,\Delta t,\] где \(r\) — сопротивление элемента. Если мысленно разрезать элемент по образующей и развернуть, получатся две параллельные металлические пластинки практически одинаковой площади \(2\pi R\,\Delta l\) (так как разность радиусов мала, в качестве \(R\) можно взять \(R_1\), \(R_2\) или их среднее), находящиеся на расстоянии \(R_2-R_1\) друг от друга. Поэтому \[r = \frac{\rho\,(R_2-R_1)}{2\pi R\,\Delta l},\] где \(\rho\) — удельное сопротивление воды, и в элементе выделяется количество теплоты \[\delta Q = \frac{U^2\,2\pi R\,\Delta l}{\rho\,(R_2-R_1)}\,\Delta t.\]

Так как теплопотери отсутствуют, это количество теплоты уносится протекающей через элемент водой. За время \(\Delta t\) в элемент втекает (и вытекает) масса воды \[\Delta m = \rho_0\,v\,\Delta t\,2\pi R\,(R_2-R_1),\] где \(\rho_0\) — плотность воды. Если разность температур вытекающей и втекающей воды равна \(\Delta T\), то вода уносит из элемента \[\delta Q = c\,\Delta m\,\Delta T = c\,\rho_0\,v\,\Delta t\,2\pi R\,(R_2-R_1)\,\Delta T.\] Приравнивая выделившуюся и унесённую теплоту, получаем изменение температуры воды на единицу длины цилиндров: \[\frac{\Delta T}{\Delta l} = \frac{U^2}{c\,\rho_0\,\rho\,v\,(R_2-R_1)^2}.\]

Подсказка

Запишите вклады бензина и этанола в теплоту сгорания смеси: \(m_Б q_Б\) и \(m_Э q_Э\) — и используйте условие «втрое больше» и то, что \(m_Б + m_Э = m\).

Ответ

1) \(w_Б = \dfrac{3q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}66\), \(w_Э \approx 0{,}34\);  2) \(q \approx 39\) МДж/кг.

Решение

Рассмотрим массу \(m\) смеси бензина и биоэтанола. Для масс бензина \(m_Б\) и этанола \(m_Э\) в смеси выполнены условия \[m = m_Б + m_Э, \qquad m_Б q_Б = 3\,m_Э q_Э.\] Решая эту систему, получим \[m_Б = \frac{3q_Э\,m}{3q_Э+q_Б}, \qquad m_Э = \frac{q_Б\,m}{3q_Э+q_Б}.\] Отсюда массовые доли бензина и этанола в смеси \[w_Б = \frac{m_Б}{m} = \frac{3q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}66, \qquad w_Э = \frac{m_Э}{m} = \frac{q_Б}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}34.\] Удельная теплота сгорания смеси \[q = \frac{m_Б q_Б + m_Э q_Э}{m} = w_Б q_Б + w_Э q_Э = \frac{4\,q_Б\,q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 39{,}0~\text{МДж/кг}.\]

Подсказка

Определите по графику, какой процесс является изобарическим (работа составляет \(2/5\) от теплоты), а какой изохорическим (работа равна нулю). Затем последовательно найдите давления и объёмы в состояниях \(b\), \(c\), \(d\), \(e\).

Ответ

\(a\): \((p_a,\,V_a)\); \(b\): \((3p_a,\,V_a)\); \(c\): \((3p_a,\,2V_a)\); \(d\): \((p_a,\,2V_a)\); \(e\): \((p_a,\,0{,}5V_a)\). Процесс незамкнутый: состояние \(e\) не совпадает с \(a\).

Решение

В процессе \(a\)–\(b\) газ не совершает работу, значит, процесс изохорический с получением теплоты. По первому закону термодинамики \[Q_{a-b} = \frac{3}{2}\,(p_b V_a - p_a V_a) = 6~\text{кДж}.\] Поскольку \(p_a V_a = 2\) кДж, получаем \(p_b = 3p_a\).

Работа газа в процессе \(b\)–\(c\) составляет \(2/5\) от полученной теплоты, а это соотношение имеет место для изобарического процесса. Значит, \(p_c = p_b = 3p_a\), и \[A_{b-c} = p_b\,(V_c - V_a) = 3p_aV_c - 3p_aV_a.\] Из графика \(A_{b-c} = 6\) кДж, поэтому \(V_c = 2V_a\).

В процессе \(c\)–\(d\) газ не совершает работы, процесс изохорический. По первому закону \[Q_{c-d} = \frac{3}{2}\,(p_d V_d - p_c V_c) = \frac{3}{2}\,(2p_d V_a - 6p_aV_a).\] Из графика \(Q_{c-d} = -12\) кДж, отсюда \(p_d = p_a\).

Процесс \(d\)–\(e\) изобарический при \(p = p_a\) (работа составляет \(2/5\) от теплоты, \(A_{d-e}<0\)). Работа в нём \[A_{d-e} = p_a\,(V_e - 2V_a) = -3~\text{кДж},\] откуда \(V_e = 0{,}5\,V_a\). Точка \(a\) лежит на изобаре \(d\)–\(e\), но процесс не замкнут: газ возвращается не в \(a\), а в состояние \(e\) с объёмом \(0{,}5V_a\) (процесс «перезамкнут»).

Подсказка

Напряжение на диоде равно \(U_0 + I/k\) при \(I>0\). Запишите закон Ома для всей цепи и вычислите мощность источника \(\varepsilon I\); мощность на диоде — это разность мощности источника и мощности на резисторе.

Ответ

При \(\varepsilon \le U_0\) ток не течёт, мощность равна нулю. При \(\varepsilon > U_0\): \(P = \dfrac{k\,\varepsilon\,(\varepsilon-U_0)}{1+kR}\); на диоде выделяется тепло мощностью \(P_д = \dfrac{k\,(\varepsilon-U_0)\,(\varepsilon+kRU_0)}{(1+kR)^2} > 0\).

Решение

Если напряжение источника меньше напряжения открытия диода \(U_0\), диод закрыт, ток в цепи не течёт и тепло не выделяется.

При \(\varepsilon > U_0\) диод открывается, и в цепи течёт ток силы \(I\). Тогда напряжение на диоде равно \(U_0 + I/k\), а на резисторе — \(IR\). Отсюда \[\varepsilon = IR + U_0 + \frac{I}{k} \quad\Rightarrow\quad I = \frac{k\,(\varepsilon-U_0)}{1+kR}.\] Так как внутреннее сопротивление источника равно нулю, всё энерговыделение в цепи происходит во внешней цепи, и его мощность равна работе источника в единицу времени: \[P = \varepsilon I = \frac{k\,\varepsilon\,(\varepsilon-U_0)}{1+kR}.\] Мощность на диоде выделяется, поскольку электрическое поле совершает работу по перемещению зарядов в диоде. Её проще всего найти как разность мощности, выделяемой во внешней цепи, и мощности на резисторе \(I^2R\): \[P_д = P - I^2R = I\left(\varepsilon - IR\right) = I\left(U_0 + \frac{I}{k}\right) = \frac{k\,(\varepsilon-U_0)\,(\varepsilon+kRU_0)}{(1+kR)^2}.\] Таким образом, тепло выделяется и на диоде, мощностью \(P_д\) при \(\varepsilon > U_0\).

Подсказка

Сравните, как при нагревании воды в цилиндрическом сосуде меняются высота столба и плотность воды. Затем выясните, как давление у дна меняется в перевёрнутом конусе.

Ответ

Уровень воды в цилиндрическом сосуде понизится.

Решение

Изменением размеров сосуда при нагревании можно пренебречь, так как коэффициент теплового расширения стекла много меньше коэффициента теплового расширения воды.

Сначала рассмотрим цилиндрический сосуд. Пусть объём воды при нагревании увеличился в \(n\) раз: \(V \to nV\). Площадь сечения сосуда не меняется, поэтому высота столба воды тоже увеличивается в \(n\) раз: \(h \to nh\). Масса воды не меняется, поэтому плотность уменьшается в \(n\) раз: \(\rho \to \rho/n\). Гидростатическое давление \[p' = \frac{\rho}{n}\,g\,nh = \rho g h = p\] не меняется. Значит, если бы нагреваемый сосуд был цилиндрическим, уровень воды во втором колене не изменился бы.

В сосуде, представляющем собой перевёрнутый конус, плотность воды уменьшается так же, как и в цилиндрическом, а рост высоты столба меньше, чем в цилиндрическом: сечение расширяющегося кверху сосуда растёт, и вода поднимается в нём меньше. Поэтому давление воды у дна нагреваемого колена уменьшается, и уровень воды в ненагреваемом сосуде опускается.

Подсказка

Кривошип невесом и вращается равномерно, поэтому момент внешней силы уравновешивает момент силы натяжения шатуна. Найдите ускорение ползуна и натяжение шатуна из второго закона Ньютона.

Ответ

\(M = 2\,m\,l^2\,\omega^2\sin 2\alpha\).

Решение

Поскольку кривошип невесомый, а его угловая скорость постоянна, сумма моментов всех сил, действующих на него относительно шарнира \(O\), равна нулю. Значит, момент внешней силы уравновешивается моментом силы натяжения шатуна \(T\), которую найдём из второго закона Ньютона для ползуна. Шатун невесомый, поэтому сила натяжения направлена вдоль шатуна; на ползун действуют сила тяжести, сила реакции направляющих (перпендикулярно им) и сила натяжения шатуна.

Треугольник \(OAB\) равнобедренный (\(OA = AB = l\)), \(\angle AOB = \angle ABO = \alpha\), поэтому \(OB = 2l\cos\alpha\). Скорость ползуна \(v_B = -2l\omega\sin\alpha\), его ускорение \[a = \frac{dv_B}{dt} = -2l\omega^2\cos\alpha,\] по модулю \(2l\omega^2\cos\alpha\).

Второй закон Ньютона для ползуна в проекции на направляющие: \[m\,|a| = T\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad T = 2\,m\,l\,\omega^2.\] Момент силы натяжения шатуна относительно \(O\) равен \(T\cdot d\), где \(d\) — плечо, т.е. расстояние от \(O\) до прямой \(AB\): \(d = OA\sin\angle OAB = l\sin 2\alpha\). Поэтому \[M = T\,l\sin 2\alpha = 2\,m\,l^2\,\omega^2\sin 2\alpha.\]