ИОШ, 2025/26, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

По горизонтали импульс системы равен нулю, значит, центр масс движется только по вертикали. Используйте закон сохранения энергии для падающего тела и найдите горизонтальную координату центра масс до и после падения.

Ответ

Тело упадёт на расстоянии \(\dfrac{5}{6}\,l\) правее начального положения шарнира, со скоростью \(v = \sqrt{2gl}\).

Решение

На систему действуют только вертикальные силы, поэтому горизонтальная проекция скорости центра масс остаётся равной нулю. В момент падения тела массой \(m\) оно движется вертикально, а тела массой \(2m\) и шарнир массой \(3m\) покоятся. Из закона сохранения энергии \[mgl = \frac{mv^2}{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2gl} .\]

Систему можно представить как наложение двух симметричных гантелей с массами \(2m\) и \(m\). Центр масс лежит на прямой, соединяющей центры стержней, на вдвое более близком расстоянии к середине горизонтального стержня, чем к середине вертикального. Поэтому в начальный момент центр масс левее шарнира на расстоянии \[\Delta x_1 = \frac{2}{3}\cdot\frac{l}{2} = \frac{l}{3} .\]

После падения шарика массой \(m\) центр масс находится на прямой, проходящей через центры стержней, вдвое ближе к середине левого стержня. Поэтому он левее шарнира на расстоянии \[\Delta x_2 = \frac{l}{2} - \frac{l}{3} = \frac{l}{6} .\] Горизонтальная координата центра масс не меняется, значит, шарнир сдвинулся влево на \[\Delta x_1 - \Delta x_2 = \frac{l}{6} .\] Поскольку расстояние от места падения шарика до нового положения шарнира равно \(l\), шарик упадёт в точке на расстоянии \[\Delta x = l - \frac{l}{6} = \frac{5}{6}\,l\] правее старого положения шарнира.

Подсказка

Рассмотрите равновесие одного полуцилиндра: вертикальная проекция даст натяжение нити, горизонтальная — силу давления.

Ответ

\(T = \dfrac{mg}{\sin\alpha}\);  \(N = mg\operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Решение

На левый полуцилиндр действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции \(\vec N\) со стороны правого полуцилиндра и две силы натяжения нити \(\vec T\) и \(\vec T'\), модули которых равны (правый полуцилиндр действует так же).

Из вертикальной проекции условия равновесия \[T\sin\alpha = mg \;\Rightarrow\; T = \frac{mg}{\sin\alpha} .\] Из горизонтальной проекции искомая сила реакции \[N = T + T\cos\alpha = \frac{mg(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha} = mg\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} .\]

Подсказка

Сначала предположите, что ток через фотоэлемент не течёт, и проверьте условие \(\varphi_A < \varphi_K\). Если оно не выполнено, составьте уравнения для токов в узле К и в контуре справа.

Ответ

\(U_{A-K} = \dfrac{\varepsilon}{3} - \dfrac{2}{3}\,I_0 r = 5{,}66\text{ В}\).

Решение

Предположим, что ток через фотоэлемент не течёт. Тогда ток через резисторы \(2r\) и \(r\) одинаков и равен \(I = \dfrac{2\varepsilon}{3r}\). Падение напряжения на резисторе \(r\) равно \(2\varepsilon/3\), и \(\varphi_K = \varphi_O + \dfrac{2\varepsilon}{3}\). Потенциал точки А равен \(\varphi_A = \varphi_O + \varepsilon\), то есть больше \(\varphi_K\). Значит, предположение неверно, и ток через фотоэлемент течёт.

В этом случае токи через резисторы \(2r\) и \(r\) различны: \(I_1\) и \(I_2\). Для узла К \[I_0 + I_1 = I_2 ,\] а для правого контура \[I_1 \cdot 2r + I_2 r = 2\varepsilon .\] Решая систему, \[I_2 = \frac{2\varepsilon}{3r} + \frac{2}{3}\,I_0 .\]

Падение напряжения на резисторе \(r\) равно \(I_2 r\), поэтому \(\varphi_K = \varphi_O + I_2 r = \varphi_O + \dfrac{2\varepsilon}{3} + \dfrac{2}{3}I_0 r\). Источник идеален, поэтому \(\varphi_A = \varphi_O + \varepsilon\). Отсюда \[U_{A-K} = \varphi_A - \varphi_K = \frac{\varepsilon}{3} - \frac{2}{3}\,I_0 r = 5{,}66\text{ В} .\]

Подсказка

Равновесие соответствует минимуму потенциальной энергии системы. Выразите её через угол наклона длинного стержня и найдите минимум.

Ответ

\(\alpha = \arccos\dfrac{1+\sqrt{51}}{10} \approx 35{,}5^\circ\).

Решение

Положение равновесия найдём из условия минимума потенциальной энергии. Пусть угол наклона длинного стержня к горизонтали равен \(\alpha\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому угол наклона короткого стержня к вертикали равен \[\beta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha .\]

Потенциальную энергию стержней найдём как сумму энергий материальных точек массами \(m\) и \(2m\) в их центрах масс. Начало отсчёта выберем в шарнире крепления короткого стержня. Тогда \[\Pi_1 = -mg\,\frac{l}{2}\cos\beta = -mg\,\frac{l}{2}\sin 2\alpha .\] Середина длинного стержня находится ниже шарнира на расстоянии \(l\cos\beta - l\sin\alpha\), поэтому \[\Pi_2 = -2mgl\left(\cos\beta - \sin\alpha\right) = -2mgl\left(\sin 2\alpha - \sin\alpha\right) .\] Полная энергия \[\Pi = \Pi_1 + \Pi_2 = -\frac{5}{2}\,mgl\sin 2\alpha + 2mgl\sin\alpha .\] Производная равна нулю: \[\Pi' = -5mgl\cos 2\alpha + 2mgl\cos\alpha = 0 .\] Раскрывая \(\cos 2\alpha\) и используя основное тригонометрическое тождество, получим квадратное уравнение относительно \(\cos\alpha\): \[10\cos^2\alpha - 2\cos\alpha - 5 = 0 .\] Отсюда \[\alpha = \arccos\frac{1+\sqrt{51}}{10} \approx 35{,}5^\circ ,\] второй корень отрицателен, а искомый угол острый.

Подсказка

Ток через резистор при большом внутреннем сопротивлении источника не зависит от сопротивления резистора. Резистор перегорает, когда тепловыделение начинает превышать теплоотдачу при любом росте температуры.

Ответ

\(I_{max} = \sqrt{\dfrac{R_1}{R_1 - R_0}}\,I_1 \approx 1{,}26\text{ А}\).

Решение

Поскольку сопротивление источника много больше сопротивления внешней цепи, сила тока через резистор не зависит от его сопротивления и может быть установлена любой по желанию, например, изменением внутреннего сопротивления источника.

Пусть при токе \(I\) установившаяся температура резистора \(T\), и его сопротивление перестало меняться. Мощности тепловыделения и теплопотерь одинаковы: \[I^2 R_0 \bigl(1 + \alpha(T - T_0)\bigr) = k (T - T_0) ,\] где \(k\) — коэффициент теплоотдачи. Отсюда \[T - T_0 = \frac{I^2 R_0}{k - \alpha I^2 R_0} .\] Если ток достигает значения \[I \to I_{max} = \sqrt{\frac{k}{\alpha R_0}} ,\] температура неограниченно возрастает, и резистор перегорает: тепловыделение растёт с температурой быстрее, чем теплоотвод.

Пусть при токе \(I_1\) температура резистора и его сопротивление равны \(T_1\) и \(R_1\). Тогда \[R_1 = R_0 + R_0\alpha (T_1 - T_0) , \qquad I_1^2 R_0 \bigl(1 + \alpha(T_1 - T_0)\bigr) = k (T_1 - T_0) .\] Выражая \(T_1 - T_0\) из этих формул и приравнивая, получим \[\frac{\alpha}{k} = \frac{R_1 - R_0}{R_1 R_0 I_1^2} .\] Подставляя в формулу для \(I_{max}\), находим максимальный ток, при котором резистор перегорает: \[I_{max} = \sqrt{\frac{R_1}{R_1 - R_0}}\, I_1 = 1{,}26\text{ А} .\]

Подсказка

Рассмотрите отражённые лучи для разных ориентаций участка боковой поверхности. Покажите, что точки падения отражённых лучей на стол равноудалены от основания стержня.

Ответ

Неполная окружность с центром в основании стержня и радиусом \(r = h\operatorname{tg}\alpha\); за стержнем находится область геометрической тени, куда лучи не попадают.

Решение

Рассмотрим луч \(AO\), падающий в точку \(O\) стержня. Отрезок \(OB\) показывает продолжение луча после точки \(O\) (если бы не было отражения), вертикальный отрезок \(MN\) — прямую, проходящую через точку падения и лежащую на боковой поверхности стержня. Отрезок \(OC\) — отражённый от боковой поверхности луч.

Отражённый луч зависит от ориентации «кусочка» боковой поверхности стержня, и отражённые лучи занимают разные положения в пространстве. Но как бы они ни были ориентированы, отражённый луч и продолжение падающего луча располагаются симметрично относительно «кусочка» боковой поверхности. Значит, треугольники \(ONB\) и \(ONC\) равны независимо от ориентации, и \(NB = NC\). Следовательно, точки падения отражённых лучей на стол находятся на равных расстояниях от основания стержня. Отражённые лучи на поверхности стола образуют окружность с центром в основании стержня и радиусом \[r = h\operatorname{tg}\alpha .\] Эта окружность неполная, так как за стержнем находится область геометрической тени.