Росатом, 2022/23, отборочный этап, 11 класс

Реакция опоры перпендикулярна поверхности конуса; её вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести, горизонтальная задает центростремительное ускорение.

\(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{r}}\).

Скорость тела не меняется, так как поверхность гладкая и тело движется на одной высоте. На тело действуют сила реакции опоры \(\vec N\) и сила тяжести \(m\vec g\); их сумма в каждой точке направлена к центру окружности и равна \(m\omega^2 r\). Проекции второго закона Ньютона на вертикальную ось и ось к центру окружности: \[0 = N\sin\alpha - mg, \qquad m\omega^2 r = N\cos\alpha.\] Отсюда \(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{r}}\).

Запишите условие плавания в обоих случаях через архимедову силу.

\(T = \dfrac{2}{3}\,mg\).

Условия плавания поплавка с грузом и свободного поплавка: \[mg + T = \frac{1}{3}\rho g V, \qquad mg = \frac{1}{5}\rho g V,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объем поплавка. Из второго уравнения \(\rho g V = 5mg\); подставляя в первое, получим \(T = \dfrac{2}{3}\,mg\).

Условие равновесия связанных поршней даёт соотношение давлений газа в отсеках, уравнение Клапейрона–Менделеева — связь давлений с температурами.

\(\dfrac{T_1}{T_2} = 3\).

Тело из двух поршней со стержнем находится в равновесии под действием давлений газа в левом и правом отсеках: \(p_1 S = p_2\cdot 2S\), т.е. \(p_1 = 2p_2\). По уравнению Клапейрона–Менделеева для газов в отсеках длиной \(l/2\) каждый в начальном положении \[p_1\,\frac{l}{2}S = \nu_1 RT, \qquad p_2\,\frac{l}{2}\,2S = \nu_2 RT,\] где \(l\) — длина каждой из труб, \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — количества вещества газа в левом и правом отсеках, \(T\) — температура, одинаковая по условию. Поршни сдвинулись вправо на \(l/4\), объемы отсеков стали \(V_1 = 3lS/4\) и \(V_2 = lS/2\). Поэтому новые давления \[p_1' = \frac{4\nu_1 RT_1}{3lS}, \qquad p_2' = \frac{2\nu_2 RT_2}{lS}.\] Деля эти уравнения и учитывая, что в равновесии \(p_1' = 2p_2'\), получим \(\dfrac{T_1}{T_2} = 3\).

Запишите условие равновесия моментов относительно центра трубы и относительно точки касания трубы с плоскостью.

\(\mu \ge \mathrm{tg}\,\alpha\).

На трубу действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции плоскости \(\vec N\), сила натяжения нити \(\vec T\) и сила трения \(\vec F_{тр}\), направленная вверх вдоль плоскости (см. рисунок). Условие моментов относительно центра трубы: \(TR = F_{тр}R\), т.е. \(T = F_{тр}\). Из условия моментов относительно точки касания трубы и плоскости: \(T(R + R\sin\alpha) = mgR\sin\alpha\), откуда \[T = \frac{mg\sin\alpha}{1+\sin\alpha}, \qquad F_{тр} = \frac{mg\sin\alpha}{1+\sin\alpha}.\] Сила реакции плоскости из уравнения сил: \(N = mg\cos\alpha - T\cos\alpha = \dfrac{mg\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\). Условие покоя трубы \(F_{тр} \le \mu N\) дает \[\frac{mg\sin\alpha}{1+\sin\alpha} \le \mu\,\frac{mg\cos\alpha}{1+\sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \mu \ge \mathrm{tg}\,\alpha.\]

Поле пластинки с обеих сторон одинаково по модулю и направлено от неё (для положительного заряда). Запишите суперпозицию полей с каждой стороны.

\(Q = \varepsilon_0 S E > 0\) (заряд положительный);  \(E_0 = \dfrac{3}{2}E\), направлена вправо.

Пусть заряд пластинки равен \(Q\), напряженность внешнего поля \(E_0\). По принципу суперпозиции поле складывается из внешнего поля и собственного поля пластинки, которое слева и справа направлено противоположно. Из рисунка направлений и величин суммарных полей заключаем, что внешнее поле направлено вправо и больше собственного поля пластинки, которое справа направлено вправо, слева — влево; заряд положителен. Тогда \[E = E_0 - \frac{Q}{2S\varepsilon_0}, \qquad 2E = E_0 + \frac{Q}{2S\varepsilon_0}.\] Складывая и вычитая, получим \(E_0 = \dfrac{3}{2}E\) (вправо) и \(Q = \varepsilon_0 S E > 0\).

Сравните, какое ускорение может дать трение тела о доску и каким будет ускорение доски. Определите, какое из тел остановится раньше.

\(l = \dfrac{v_0^2}{3\mu g}\).

Сначала тело и доска имеют одинаковые скорости, но доска тормозится силой трения о поверхность. Если бы скольжения не было, ускорение тела совпадало бы с ускорением доски: \(a = \dfrac{F_{тр,1}}{2m} = \dfrac{2\mu N_1}{2m} = 2\mu g\), где \(N_1 = 2mg\). Но трение тела о доску не может дать ускорение больше \(\mu g\) (\(N_2 = mg\)). Значит, тело проскальзывает вперед, доска тормозится сильнее и останавливается раньше тела.

Силы в горизонтальном направлении: на тело действует тормозящая сила трения \(F_{тр,2} = \mu mg\) со стороны доски; на доску — разгоняющая сила \(\mu mg\) со стороны тела и тормозящая сила \(F_{тр,1} = 2\mu N_1 = 4\mu mg\). Ускорения: доски \(a_1 = 3\mu g\), тела \(a_2 = \mu g\). Времена остановки \(t_1 = \dfrac{v_0}{3\mu g}\) (доска), \(t_2 = \dfrac{v_0}{\mu g}\) (тело). Пути за это время \(S_1 = \dfrac{v_0^2}{6\mu g}\) (доска), \(S_2 = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}\) (тело). Перемещение тела относительно доски: \[l = S_2 - S_1 = \frac{v_0^2}{3\mu g}.\]