зад 1 Вольтметры и резистор
Резистор и два вольтметра соединили так, как показано на рисунке, и подключили к этой цепи источник постоянного напряжения. Известно, что вольтметр \(V_1\) показал при этом напряжение \(U\), а вольтметр \(V_2\) — напряжение \(\dfrac{3U}{2}\). Когда из цепи убрали вольтметр \(V_2\) (сохранив резистор и вольтметр \(V_1\) последовательно подключенными к источнику), вольтметр \(V_1\) показал напряжение \(\dfrac{3U}{2}\). Какое напряжение покажет вольтметр \(V_2\), если из цепи убрали вольтметр \(V_1\), сохранив последовательно подключенными к источнику тот же резистор и вольтметр \(V_2\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Вольтметры имеют конечные сопротивления; в первой схеме токи через них одинаковы.
▶ОтветСкрыть
\(U_2 = \dfrac{27}{14}\,U\).
▶РешениеСкрыть
При данном подключении ток через вольтметры одинаков, поэтому их сопротивления отличаются в полтора раза: \(\dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{3}{2}\). Когда вольтметр \(V_2\) убрали, показания \(V_1\) выросли в полтора раза, значит, в полтора раза вырос и ток: \[\frac{U}{r + R_1 + \frac{3}{2}R_1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{U}{r + R_1},\] где \(U\) — напряжение источника, \(r\) — сопротивление резистора. Отсюда \(r = 2R_1\) и ток при первоначальном подключении \(I = \dfrac{U}{r+R_1+\frac{3}{2}R_1} = \dfrac{2U}{9R_1}\). Во второй схеме ток \(I_2 = \dfrac{U}{r+R_2} = \dfrac{2U}{7R_1}\), т.е. в \(\dfrac{9}{7}\) раза больше. Показания \(V_2\) увеличатся в \(\dfrac{9}{7}\) раза: \[U_2 = \frac{9}{7}\cdot\frac{3}{2}\,U = \frac{27}{14}\,U.\]
зад 2 Пробирка с точечным телом
На дно узкой пробирки длиной \(l\) и площадью поперечного сечения \(S\) положили массивное точечное тело и опустили пробирку в неглубокий сосуд с водой. В результате дно пробирки легло на дно сосуда, ее половина оказалась в воде, половина — над водой (см. рисунок). Найти массу пустой пробирки. Плотность воды \(\rho\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите равновесие моментов относительно нижней точки пробирки. Сила Архимеда приложена к середине погруженной части.
▶ОтветСкрыть
\(m = \dfrac{\rho l S}{4}\).
▶РешениеСкрыть
На пробирку действуют сила тяжести (приложена к середине пробирки), сила реакции дна, сила со стороны точечного тела, равная его силе тяжести, и сила Архимеда (приложена к центру погруженной части, на расстоянии \(l/4\) от дна). Уравнение моментов относительно нижней точки: \[mg\,\frac{l}{2} = F_A\,\frac{l}{4} \quad\Rightarrow\quad F_A = 2mg.\] С другой стороны, \(F_A = \rho g S\dfrac{l}{2}\). Отсюда \(m = \dfrac{1}{4}\rho l S\).
зад 3 Упругий удар под прямым углом
Тело массой \(m\) налетает на покоящееся тело с неизвестной массой и после абсолютно упругого удара движется в перпендикулярном направлении со скоростью, составляющей половину начальной. Найти массу второго тела.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите закон сохранения импульса по двум осям и закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
\(M = \dfrac{5}{3}\,m\).
▶РешениеСкрыть
Пусть начальная скорость первого тела \(v\). По осям \(x\) (вдоль \(v\)) и \(y\): \[mv = MV_x, \qquad 0 = MV_y - m\frac{v}{2},\] где \(M\) — масса второго тела, \(V_x\) и \(V_y\) — проекции его скорости. Энергия: \[\frac{mv^2}{2} = \frac{M(V_x^2+V_y^2)}{2} + \frac{mv^2}{8}.\] Выражая из импульса проекции скорости второго тела и подставляя в энергию, найдем \(M = \dfrac{5}{3}\,m\).
зад 4 Тело на наклонной плоскости и сила $3mg$
На шероховатую наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha = 45^\circ\) с горизонтом, аккуратно кладут шероховатое тело массой \(m\), и оно начинает двигаться с некоторым ускорением. Если к телу приложить силу \(\vec F\) величиной \(3mg\), направленную горизонтально (см. рисунок), оно будет двигаться с таким же ускорением, но направленным вверх вдоль плоскости. Найти коэффициент трения между телом и плоскостью.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните ускорения в двух случаях по второму закону Ньютона вдоль плоскости.
▶ОтветСкрыть
\(\mu = \dfrac{1}{3}\).
▶РешениеСкрыть
Первый случай: \(N = mg\cos\alpha\), \(ma = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha\), откуда \[a = g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right) = \frac{g(1-\mu)}{\sqrt{2}}.\] Второй случай: \(N = mg\cos\alpha + F\sin\alpha = \dfrac{4mg}{\sqrt{2}}\), сила трения направлена вниз вдоль плоскости, и \(ma = F\cos\alpha - mg\sin\alpha - \mu N\), откуда \[a = \frac{2g(1-2\mu)}{\sqrt{2}}.\] Ускорения равны: \(\dfrac{g(1-\mu)}{\sqrt{2}} = \dfrac{2g(1-2\mu)}{\sqrt{2}}\), откуда \(\mu = \dfrac{1}{3}\).
зад 5 Два разноимённых заряда
Два точечных заряда \(q\) и \(-2q\) с массами \(3m\) и \(m\) соответственно удерживают в вакууме на расстоянии \(l\) друг от друга. В некоторый момент времени заряды одновременно отпускают, и благодаря кулоновскому притяжению они начинают двигаться навстречу друг другу. Найти скорости зарядов в тот момент времени, когда расстояние между ними уменьшится вдвое.
▶ПодсказкаСкрыть
Для замкнутой системы выполняются законы сохранения импульса и энергии; энергия взаимодействия зарядов \(U = k\dfrac{q_1q_2}{r}\).
▶ОтветСкрыть
заряд \(q\) (масса \(3m\)): \(v_1 = \sqrt{\dfrac{kq^2}{3ml}}\); заряд \(-2q\) (масса \(m\)): \(v_2 = \sqrt{\dfrac{3kq^2}{ml}}\).
▶РешениеСкрыть
Система замкнута, поэтому для скоростей зарядов в момент, когда расстояние уменьшилось вдвое, выполнены законы сохранения импульса и энергии: \[3mv_1 = mv_2, \qquad \frac{3mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} - k\frac{2q^2}{l/2} = -k\frac{2q^2}{l},\] где \(v_1\) и \(v_2\) — скорости зарядов с массами \(3m\) и \(m\), \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Из системы находим \[v_1 = \sqrt{\frac{kq^2}{3ml}}, \qquad v_2 = 3v_1 = \sqrt{\frac{3kq^2}{ml}}.\]
зад 6 Цикл с одноатомным газом
С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс. График зависимости объема газа от его абсолютной температуры в этом процессе представлен на рисунке. Известны абсолютные температуры газа в состояниях 1 и 3 — \(T_1 = T\) и \(T_3 = 4T\). Известно также, что температуры газа в состояниях 2 и 4 одинаковы. Найти термодинамический КПД цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
Перестройте график в координатах \(p\)–\(V\): процессы 1–4 и 3–2 изохорические, 2–3 и 4–1 изобарические.
▶ОтветСкрыть
\(\eta = \dfrac{2}{13} \approx 0{,}15\).
▶РешениеСкрыть
Перестроим график в координатах \(p\)–\(V\). Процесс 1–2 изобарический с ростом объема, 2–3 изохорический с ростом температуры и давления, 3–4 изобарический с уменьшением объема, 4–1 изохорический с понижением температуры и давления.
Процессы 1–4 и 3–2 изохорические, поэтому \(\dfrac{p_y}{p_x} = \dfrac{T_4}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2}\). Поскольку \(T_2 = T_4\), получаем \(T_2 = T_4 = \sqrt{T_1T_3} = 2T\). Значит, давления и объемы в состояниях отличаются в 2 раза. Работа за цикл (площадь цикла): \[A = (p_y - p_x)(V_y - V_x) = p_xV_x.\] Количество теплоты, полученное газом в процессе 1–4–3, по первому закону термодинамики: \[Q_{1-4-3} = \Delta U_{1-4-3} + A_{1-4-3} = \frac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) + p_y(V_y - V_x) = \frac{9}{2}p_xV_x + 2p_xV_x = \frac{13}{2}p_xV_x.\] КПД: \(\eta = \dfrac{A}{Q} = \dfrac{2}{13}\).
Источник: Олимпиада «Росатом» по физике, 2022/23, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.