Задачи › Равномерное движение, средняя скорость

Прогулка двух туристов

  1. Прогулка двух туристов

    Всесибирская 2020/21, заключительный этап, 8 кл. · №25280
    6/10PDF: условиес решением

    Двое туристов решили пройтись по городу по маршруту, начиная с т. \(A\) в сторону, указанную стрелкой, и заканчивая точкой \(B\). После этого каждый из них планировал вернуться в исходную т. \(A\) по прямой (см. рисунок). Туристы вместе прошли пешком до т. \(B\), где один из туристов пропустил поворот и повернул налево только в т. \(C\) (см. рисунок). Через некоторое время (в точке \(D\)) он понял, что заблудился, и, повернув налево, побежал в направлении улицы, ведущей от т. \(B\) к т. \(A\). В точке \(E\) он повернул направо и пошёл пешком. В т. \(F\) турист понял, что снова идёт не там, повернул направо и дошёл до нужной улицы в т. \(G\). Оставшуюся часть маршрута турист пробежал и добрался до т. \(A\) одновременно со вторым туристом, который всё время шёл с постоянной скоростью. Насколько короче по длине вышла прогулка для этого второго туриста, если первому за всю прогулку пришлось пробежать \(L=800\) м? Считать, что турист бежит в \(4\) раза быстрее, чем идёт, а все повороты после т. \(B\) происходили под прямым углом.

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Сравните времена движения туристов от \(B\) до \(A\): пешком со скоростью \(V\) и с участками бега. Из прямоугольности поворотов следуют равенства отрезков: \(BA=CD+EF+GA\) и \(DE=BC+FG\).

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    На \(600\) м.

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Пусть \(V\) — скорость ходьбы туристов, \(X\) — искомая разница длин прогулок. По рисунку \[X=(BC+DE+FG)+(CD+FE+GA)-BA=2DE,\] где слагаемые — длины отдельных отрезков, концы которых обозначены соответствующими буквами. В этих обозначениях \(L=DE+GA\).

    Туристы пришли в \(A\) одновременно. От \(B\) до \(A\) второй турист идёт по прямой со скоростью \(V\), а первый идёт пешком по \(BC\), \(CD\), \(EF\), \(FG\) и бежит по \(DE\) и \(GA\) со скоростью \(4V\): \[\frac{BA}{V}=\frac{BC+CD+EF+FG}{V}+\frac{DE+GA}{4V}.\] Так как все повороты после \(B\) прямые, то \(BA=CD+EF+GA\) и \(DE=BC+FG\). Подставляя это в уравнение, получаем \(\dfrac{DE+GA}{4V}+\dfrac{BC+FG-GA}{V}=0\), или \(DE+4BC+4FG=3GA\), а с учётом \(DE=BC+FG\): \[5DE=3GA.\] Так как \(L=DE+GA=800\) м, то \(DE=\dfrac{3L}{8}=300\) м, и \(X=2DE=600\) м.

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх