Шарики в двух бочках

Запишите тепловой баланс жидкости и шариков для каждой бочки и для обеих бочек вместе. Все уравнения зависят от отношения теплоёмкостей шариков и жидкости; их разность температур с начальной температурой жидкости позволяет исключить её.

\(T_{\text{ш}}=360\,^\circ\)C.

Пусть \(M\) и \(C_{\text{ж}}\) — масса и удельная теплоёмкость жидкости в одной бочке, \(m\) и \(C_{\text{ш}}\) — масса и удельная теплоёмкость всех шариков, \(T_0\) — исходная температура жидкости, \(T_{\text{ш}}\) — искомая температура шариков.

Тепловой баланс для первой бочки, куда засыпана треть шариков: \[MC_{\text{ж}}(T_1-T_0)=\frac{m}{3}C_{\text{ш}}(T_{\text{ш}}-T_1).\] Для второй бочки, куда засыпаны две трети шариков: \[MC_{\text{ж}}(T_2-T_0)=\frac{2m}{3}C_{\text{ш}}(T_{\text{ш}}-T_2).\] Для системы «обе бочки и все шарики» после переноса шариков во вторую бочку: \[MC_{\text{ж}}(T_1-T_0)+MC_{\text{ж}}(T_3-T_0)=mC_{\text{ш}}(T_{\text{ш}}-T_3).\] Здесь учтено, что в первой бочке в конце осталось исходное количество жидкости с температурой \(T_1\).

Решение системы зависит только от отношения \(Y=\dfrac{mC_{\text{ш}}}{MC_{\text{ж}}}\). Из первых двух уравнений и третьего получаем \[Y=\frac{3(T_2-T_3)}{3T_3-2T_2-T_1}=\frac{3}{5}.\] Далее, исключая \(T_0\) из разности второго и первого уравнений, получаем \[T_{\text{ш}}=7T_2-6T_1=7\cdot 120-6\cdot 80=360\,^\circ\text{C}.\] Проверка с \(T_0=24\,^\circ\)C (значение из справки организаторов): по первой бочке \((80-24)=\dfrac{1}{5}(T_{\text{ш}}-80)\) и по второй \((120-24)=\dfrac{2}{5}(T_{\text{ш}}-120)\) дают то же \(T_{\text{ш}}=360\,^\circ\)C.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.