Шарик во льду на пружинке

Запишите условие равновесия шарика со льдом в трёх состояниях: до погружения, после погружения в воду до таяния льда и после таяния. Вычитая уравнения друг из друга, исключите начальное растяжение пружины и объём шарика.

\(\dfrac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{л}}}=0{,}6\).

Обозначим \(V_{\text{л}}\), \(V_{\text{ш}}\) — объёмы льда и шарика; \(\rho_{\text{в}}\), \(\rho_{\text{л}}\), \(\rho_{\text{ш}}\) — плотности воды, льда и шарика; \(H_0\) — растяжение пружинки до погружения льда в воду; \(k\) — её жёсткость. Начальное растяжение и жёсткость в ответ не войдут.

До погружения в воду: \[\rho_{\text{л}}V_{\text{л}}g+\rho_{\text{ш}}V_{\text{ш}}g=kH_0.\] После погружения, до таяния льда, на систему действует выталкивающая сила, которая уменьшает растяжение пружины: \[\rho_{\text{л}}V_{\text{л}}g+\rho_{\text{ш}}V_{\text{ш}}g-\rho_{\text{в}}(V_{\text{ш}}+V_{\text{л}})g=k(H_0-H_1).\] После того как лёд растаял, шарик остаётся в воде, и пружина растягивается сильнее, так как лёд был «поплавком» (его плотность меньше плотности воды): \[\rho_{\text{ш}}V_{\text{ш}}g-\rho_{\text{в}}V_{\text{ш}}g=k(H_0-H_1+H_2).\] Вычитая первое уравнение из второго, исключаем \(H_0\): \(\rho_{\text{в}}(V_{\text{ш}}+V_{\text{л}})g=kH_1\). Вычитая второе уравнение из третьего, исключаем \(V_{\text{ш}}\): \((\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})V_{\text{л}}g=kH_2\).

Делим одно на другое и получаем \[\frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{л}}}=\frac{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})H_1}{\rho_{\text{в}}H_2}-1.\] Подставляя \(\rho_{\text{в}}=1000\) кг/м\(^3\), \(\rho_{\text{л}}=900\) кг/м\(^3\), \(H_1=8\) см, \(H_2=0{,}5\) см, получаем \(\dfrac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{л}}}=\dfrac{100\cdot 8}{1000\cdot 0{,}5}-1=0{,}6\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.