Задачи › Взаимодействие и рассеяние заряженных частиц

Заряженные шарики в полусферической лунке

  1. Заряженные шарики в полусферической лунке

    Физтех 2022/23, 10 кл.
    6/10

    В гладкой горизонтальной плоскости сделана полусферическая лунка радиуса \(R\), в которой на одном горизонтальном уровне удерживаются два заряженных шарика. Масса каждого шарика \(m\), расстояние между шариками \(R\). Шарики одновременно отпускают, и они вылетают из лунки. Отсчитанная от края лунки максимальная высота, на которую поднимается в полёте каждый шарик, равна \(R\). Шарики отрываются от гладких стенок лунки у краёв.

    Рисунок

    1. С какой скоростью \(V\) движется каждый шарик за мгновение до отрыва от края лунки?

    2. Найдите заряд \(Q\) каждого шарика.

    3. Найдите наибольшую скорость \(U\), с которой растёт расстояние между шариками после вылета из лунки. Соударения шариков с горизонтальной плоскостью абсолютно упругие. Ускорение свободного падения \(g\). Коэффициент пропорциональности в законе Кулона \(k\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для скорости в момент отрыва используйте закон сохранения энергии в лунке. Высота полёта связана со скоростью отрыва формулой \(R = V^2/(2g)\) для вертикальной составляющей. Заряд находите из баланса энергии кулоновского отталкивания и кинетической энергии.

    Ответ

    1) \(V = \sqrt{2gR}\);  2) \(Q = \pm 2{,}73\,R\sqrt{\dfrac{mg}{k}}\);  3) \(U \approx 3{,}9\sqrt{gR}\).

    Решение

    В полёте \(R = \dfrac{V^2}{2g}\).

    1) \(V = \sqrt{2gR}\).

    2) Далее закон сохранения энергии \(k\dfrac{Q^2}{R} = k\dfrac{Q^2}{2R} + 2\dfrac{m}{2}\left(V^2 + \sqrt3 gR\right)\), \(\dfrac{mV^2}{2} = mgR\). Отсюда \(Q = \pm R\sqrt{2\left(2+\sqrt3\right)\dfrac{mg}{k}} \approx \pm 2{,}73\,R\sqrt{\dfrac{mg}{k}}\).

    3) На большом расстоянии \(k\dfrac{Q^2}{2R} = 2\dfrac{m}{2}V_x^2\), \(V_X = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)gR}\), и \(U = 2\sqrt{\left(2+\sqrt3\right)gR} \approx 3{,}9\sqrt{gR}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх