Шайба и шайбочка

Перейдите в систему отсчёта движущейся шайбы: там модуль скорости шайбочки до и после удара одинаков, а углы связаны с \(\cos\alpha = L/R\). Затем вернитесь в лабораторную систему по теореме косинусов.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с движущейся шайбой. В ней перед ударом шайбочка движется со скоростью \(\vec v + \vec u\).

Так как шайба гладкая и между ней и шайбочкой не действуют силы трения, то углы между нормалью к поверхности шайбы в месте удара и направлениями движения шайбочки до и после удара одинаковы. Следовательно, после удара о шайбу шайбочка в движущейся системе отсчёта будет двигаться с той же по модулю скоростью \(\vec v + \vec u\) под углом \(\beta = \pi - 2\alpha\) к направлению исходного движения, причём \(\cos\alpha = L/R\).

Вернёмся обратно в неподвижную систему отсчёта, связанную с землёй. В ней скорость шайбочки после удара \(\vec v_1\) будет представлять собой векторную сумму скорости \(\vec u\) шайбы относительно земли и скорости \(\vec v + \vec u\) шайбочки относительно шайбы. Используя теорему косинусов, получим: \[v_1^2 = u^2 + (v+u)^2 - 2u(v+u)\cos 2\alpha = v^2 + 2u^2(1 - \cos 2\alpha) + 2uv(1 - \cos 2\alpha) = v^2 + 4u(u+v)\left(1 - \cos^2\alpha\right).\] С учётом выражения для \(\cos\alpha\) окончательно получаем: \[v_1 = \sqrt{v^2 + 4u(u+v)\left(1 - \frac{L^2}{R^2}\right)} = 6{,}73\text{ м/с}.\]