Сильная точка

Уравнение состояния в координатах \((V/V_0, T/T_0)\) даёт прямые из начала координат, наклон которых обратен давлению. Какая из таких прямых касается дуги?

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева \[pV = \nu RT = \frac{m}{M}RT\] и преобразуем его к виду предложенных безразмерных координат: \[\frac{V}{V_0} = \left(\frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{p}\right)\cdot\frac{T}{T_0}.\] Из полученного соотношения видно, что изобарный процесс в данных координатах является прямой, выходящей из начала координат, с угловым коэффициентом \[k = \frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{p}.\] Поскольку угловой коэффициент \(k\) изобары обратно пропорционален давлению идеального газа, то его максимальному давлению \(p_{\max}\) будет соответствовать точка с минимальным угловым коэффициентом наклона. Следовательно, на графике необходимо построить касательную к дуге процесса, выходящую из начала координат (рис.).

Из прямоугольного треугольника \(OCD\) по теореме Пифагора, с учётом того, что радиус окружности на рисунке равен единице, найдём \[OD = \sqrt{3}; \qquad \sin\angle COD = \frac{1}{2}.\] Соответственно, координаты точки \(D\) равны \[x_D = OD\sin\angle COD = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad y_D = OD\cos\angle COD = \frac{3}{2}.\] Используя полученные координаты, найдём \[p_{\max} = \left(\frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{y_D}\right)\cdot x_D = 1{,}44\cdot 10^5\text{ Па} = 144\text{ кПа}.\] Давление в начальной точке несложно вычислить, находя из графика координаты точки \(A(x_A; y_A) = A(1; 2)\): \[p_A = \left(\frac{\nu R T_0}{V_0}\cdot\frac{1}{y_A}\right)\cdot x_A = 1{,}25\cdot 10^5\text{ Па} = 125\text{ кПа}.\]