Жидкое равновесие

Найдите новое положение равновесия: пружина сжата на \(\Delta x\), а уровень жидкости в правом колене поднялся на \(h\). Затем сравните полную механическую энергию системы до и после установления равновесия.

После установки груза \(m\) система выйдет из положения равновесия, поскольку сила давления жидкости в левом колене станет больше.

Пусть в новом установившемся положении равновесия жидкость в правом колене поднялась на высоту \(h\) (рис.), а пружина сжалась на величину \(\Delta x\). Тогда из условий равновесия \[k\,\Delta x = mg \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{mg}{k}, \qquad mg = 2\rho g h S \quad\Rightarrow\quad h = \frac{m}{2\rho S},\] где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки.

В процессе установления равновесия груз опустился относительно начального положения на величину \[\Delta h = \Delta x + h.\] Начальная механическая энергия \(E_1\) системы (относительно нижней точки трубки) складывается из потенциальной энергии столбов жидкости (центр масс на середине высоты) и груза: \[E_1 = 2\rho g\,\frac{l}{2}\,S\,\frac{l}{4} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0\right),\] где \(l_0\) — длина пружины в недеформированном состоянии (т.е. до установки груза, в условии не задана).

Соответственно, после установления равновесия механическая энергия \(E_2\) станет равна (добавится энергия упругой деформации пружины) \[E_2 = \frac{\rho g\left(\frac{l}{2} - h\right)^2 S}{2} + \frac{\rho g\left(\frac{l}{2} + h\right)^2 S}{2} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0 - h - \Delta x\right) + \frac{k\,\Delta x^2}{2}.\] Из закона сохранения энергии после установления нового положения равновесия имеем \[Q = E_1 - E_2 = mgh + mg\,\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\,\Delta x^2}{2}.\] Подобные члены, содержащие длину недеформированной пружины \(l_0\), сокращаются. Далее найдём \[Q = mgh + mg\,\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\,\Delta x^2}{2} = \frac{m^2 g}{4\rho S} + \frac{m^2 g^2}{2k} = \frac{m^2 g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right).\] С физической точки зрения выделение теплоты в системе происходит из-за наличия диссипативных сил: при затухании со временем колебаний жидкости (узкая трубка, вязкое трение, жидкость не идеальна) и пружины (трение о воздух, работа силы сопротивления воздуха).

Расчёт по итоговой формуле даёт \[Q = \frac{m^2 g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right) = 5{,}12\text{ мДж}.\]