Дорогой уголок

Центр масс уголка лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса \(O\). По сетке найдите, в каком отношении эта вертикаль делит отрезок между серединами стержней, затем используйте правило моментов.

При свободном подвешивании некоторой жёсткой системы в поле тяжести она с течением времени примет такое положение равновесия, при котором её центр тяжести (масс) окажется на одной вертикали с точкой подвеса. Это утверждение следует из правила моментов сил для положения равновесия, поскольку в противном случае моменты сил не будут уравновешены, и система будет вращаться.

Центр масс однородного стержня находится на его середине, следовательно, соединив середины стержней \(D\) и \(E\) на пересечении отрезка \(DE\) с вертикалью \(OB\) (рис.), найдём центр масс системы — точку \(F\).

Для центра масс системы двух материальных точек справедливо равенство (из правила моментов) \[m_1 r_1 = m_2 r_2,\] где \(r_1 = DF\), а \(r_2 = FE\). Таким образом, для определения масс стержней получаем систему уравнений \[\begin{cases} m_1 + m_2 = m, \\ m_1 r_1 = m_2 r_2. \end{cases}\] Решая систему, находим \[\begin{cases} m_1 = \dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\, m, \\[2mm] m_2 = \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\, m. \end{cases}\] Из рисунка по теореме Фалеса (по клеточкам) следует, что отношение \(\dfrac{r_1}{r_2} = 3\), т.е. \(r_1 = 3r_2\). Следовательно, для искомых масс получаем \[\begin{cases} m_1 = \dfrac{m}{4} = 40\text{ г}, \\[2mm] m_2 = \dfrac{3}{4}m = 120\text{ г}. \end{cases}\] Поскольку площади поперечного сечения стержней одинаковы, их плотности можно найти как \[\rho_1 = \frac{m_1}{s\, l_1}, \qquad \rho_2 = \frac{m_2}{s\, l_2},\] где \(l_1 = AB\), а \(l_2 = BC\). Из чертежа по теореме Пифагора находим, что \(l_1 = \sqrt{45}\,a\), \(l_2 = \sqrt{20}\,a\), где \(a\) — длина стороны квадратной масштабной сетки. Тогда отношение плотностей стержней: \[\rho_2 = \frac{m_2}{m_1}\cdot\frac{l_1}{l_2}\,\rho_1 = 3\sqrt{\frac{45}{20}}\,\rho_1 = 4{,}5\,\rho_1 = 19{,}4\text{ г/см}^3.\]