Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Стадион

  1. Стадион

    ВсОШ 2012/13, 10 кл.
    6/10

    Пусть из полоски бумаги свёрнуто кольцо. Известно, что если положить на кольцо лёгкую площадку, на которую подействовать силой \(F\) (рис. 3), то кольцо принимает форму «стадиона». В некотором диапазоне деформаций выполняется формула: \[F = kE^{\alpha}h^{\beta}b^{\gamma}d^{\delta}, \qquad (1)\] где \(b\) — ширина полоски, \(d\) — толщина бумаги, \(k\) — безразмерная константа, \(E\) — модуль Юнга бумаги, \(h\) — размер, указанный на рисунке. Под модулем Юнга \(E\) подразумевается коэффициент в законе Гука \(E\dfrac{\Delta l}{l} = \dfrac{f}{S}\), где \(\dfrac{\Delta l}{l}\) — относительная деформация, \(f\) — сила, вызывающая деформацию, \(S\) — площадь поперечного сечения.

    Рисунок

    1. Сверните кольцо из полоски бумаги (шириной \(b = 9{,}5\) см).

    2. Снимите зависимость \(h\) от \(F\).

    3. Определите диапазон \(h\), в котором выполняется формула (1).

    4. В этом диапазоне найдите коэффициенты \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\).

    Оборудование. Три цветные полоски бумаги для изготовления колец, 15 листов бумаги А4, деревянная линейка, нитки, миллиметровая бумага, скотч и ножницы (по требованию).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Размерности величин в формуле (1) дают два соотношения для показателей. Остальные показатели найдите по зависимости \(h\) от \(F\) в логарифмическом масштабе.

    Ответ

    \(\alpha = 1\), \(\beta \approx -2{,}2 \pm 0{,}2\) (по графику; при \(\beta \approx -2\) получается \(\delta = 3\)), \(\gamma = 1\), \(\delta = 3\); диапазон \(h\): \(15\) мм \(\leqslant h \leqslant 35\) мм.

    Решение

    1. Методом размерностей находим \(\alpha\): \([F] = \text{Н}\), \([E] = \dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}\), \([h] = [b] = [d] = \text{м}\). Тогда \[\text{Н} = \frac{\text{Н}^{\alpha}}{\text{м}^{2\alpha}\cdot\text{м}^{\beta+\gamma+\delta}}, \qquad \text{отсюда} \quad \alpha = 1.\]

    2. Из физических соображений: если увеличить силу вдвое (\(F_1 = 2F\)) и приложить её к двум одинаковым цилиндрам (\(b_1 = 2b\)), то \(h\) не изменится. Получаем, что \(\gamma = 1\).

    3. Склеиваем цилиндр при помощи скотча. Нагружаем цилиндр при помощи бумаги и измеряем силу в весах одного листа бумаги. Измеряем зависимость \(F\) от \(h\).

    Рисунок

    Здесь \(\Delta h\) — отклонение от начального положения при снятии груза. При больших нагрузках бумага деформируется необратимо, поэтому закон Гука не выполняется, следовательно формула (1) не верна. При очень маленьких деформациях \(h \approx h_0\), а \(F \approx 0\), что не соответствует формуле (1).

    По графику (рис. 8) в координатах \(\ln n\) от \(\ln h\) (где \(n\) — сила в листах бумаги):

    Рисунок

    \(\beta = -2{,}2 \pm 0{,}2\). Линейный участок, то есть диапазон \(h\), в котором выполняется формула (1): \(h \in [15~\text{мм};\, 35~\text{мм}]\).

    4. Коэффициент \(\delta\) определён методом размерностей из \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\): если \(\beta \approx -2\), \(\alpha = 1\), \(\gamma = 1\), то \(\delta = 3\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх