Токи и заряды

Схема переходит сама в себя при повороте на \(90^\circ\) вокруг оси соленоида, значит, токи одинаковы в симметричных перемычках. Сколько различных токов остаётся? Для каждого независимого контура запишите второе правило Кирхгофа.

При повороте в плоскости рисунка вокруг оси соленоида на угол, кратный \(90^\circ\) (в любую сторону), схема переходит сама в себя. Отсюда следует, что по проводникам центральной ячейки текут одинаковые токи или, другими словами, по проводникам центральной ячейки циркулирует ток \(i_1\). Для определения этого тока можно записать закон электромагнитной индукции только для центральной ячейки, как будто всей остальной сетки не существует, тогда направление тока \(i_1\) — против часовой стрелки — следует из правила Ленца. Значение тока даётся формулой \[i_1 = \frac{\mathcal{E}_0}{r}, \tag{1}\] В каждом узле, лежащем в вершине центральной ячейки, соединяются 4 перемычки, по двум из которых текут токи \(i_1\), причём один из них втекает в узел, а другой — вытекает. Следовательно, по двум другим перемычкам тоже текут одинаковые токи, один из которых втекает в узел, а второй — вытекает. Обозначим эти одинаковые токи \(i_2\). Сделаем рисунок, на котором укажем направления токов в перемычках сетки, используя соображения «поворотной симметрии»: при повороте вокруг оси соленоида на угол, кратный \(90^\circ\), картина распределения токов не должна изменяться.

Легко видеть, что в результате имеем 3 неизвестных тока: \(i_2\), \(i_3\), \(i_4\). Вообще говоря, направления этих токов могут быть выбраны произвольно, например так, как показано на рисунке. Если в процессе решения значение какого-либо из токов окажется отрицательным, это будет означать, что истинное направление этого тока противоположно указанному на рисунке. Отметим, что записывая второе правило Кирхгофа для контуров, состоящих из ячеек сетки, следует выбирать направление обхода против часовой стрелки (в ячейках, обозначенных \(P_1\) и \(P_2\) на рисунке, направление обхода указано серыми стрелками). Как следует из правила Ленца, при таком выборе направления обхода ЭДС индукции в правой части уравнений, отражающих второе правило Кирхгофа, будет иметь положительное значение.

Перейдём непосредственно к расчёту токов. Записывая для узла, помеченного окружностью на рисунке, первое правило Кирхгофа, имеем соотношение \[i_4 = i_3 - i_2 . \tag{2}\] Второе правило Кирхгофа для контура \(P_1\) даёт с учётом равенства (6) уравнение \[i_3 - 2i_2 = \frac{2\mathcal{E}_0}{r}. \tag{3}\] Аналогично, второе правило Кирхгофа для контура \(P_2\) даёт равенство \(i_3 + 2i_2 - i_1 = \dfrac{4\mathcal{E}_0}{r}\), подставляя в которое ток \(i_1\) из формулы (5), получаем уравнение \[i_3 + 2i_2 = \frac{5\mathcal{E}_0}{r}. \tag{4}\] Система уравнений (6)–(8) имеет решение \[i_2=\frac{3\mathcal{E}_0}{4r},\qquad i_3=\frac{7\mathcal{E}_0}{2r},\qquad i_4=\frac{11\mathcal{E}_0}{4r}.\] Все значения получились положительными, следовательно направления токов на рисунке соответствуют реальности.

Во втором пункте, после замены перемычек на границе на конденсаторы, ток течёт только по проводникам центральной ячейки, этот ток равен \(i_1=\dfrac{\mathcal{E}_0}{r}\). Будем считать полярность зарядов на обкладках конденсаторов такой, как обозначено на рисунке. Если для напряжения на каком-либо конденсаторе получится отрицательное значение, то это будет означать, что на самом деле помеченная «\(+\)» обкладка заряжена отрицательно.

Напряжения на конденсаторах, располагающихся в угловых ячейках, одинаковы и равны \(U_1=2\mathcal{E}_0\), поскольку сумма напряжений на этих конденсаторах должна быть равна (с точностью до знака) скорости изменения магнитного потока через ячейку. Сумма напряжений на всех конденсаторах должна быть равна абсолютной величине скорости изменения магнитного потока через все ячейки сетки. Таким образом, для определения напряжения \(U_2\) имеем уравнение \[8U_1 + 4U_2 = 9\cdot4\mathcal{E}_0,\] решая которое получаем ответ \(U_2=5\mathcal{E}_0\).