Поджатая пружина

Мысленно разбейте пружину на малые участки: каждый растянут своей силой (весом груза и нижней части пружины), и длины участков складываются в интеграл. В пункте с \(f_0<1\) верхняя часть пружины не растягивается вовсе.

Пункт 1. В условии сказано, что параметры \(F_0\) и \(\varepsilon\) остаются для любого куска пружины такими же, как для всей пружины, поэтому ответ на первый вопрос даётся формулой \[y=\Delta L\left(1+\frac{F-F_0}{kL_0}\right). \tag{1}\]

Пункт 2. В условиях этого пункта (\(\mu>f_0\)) любой элемент пружины деформируется под нагрузкой. Длину растянутой пружины можно найти, рассуждая следующим стандартным образом. Разделим всю недеформированную пружину на участки небольшой длины \(\Delta L\), пусть общее количество таких участков \(N\gg1\). Пусть участок с номером 1 будет самым верхним, тогда участок с номером \(k\) растягивается силой \[F_k=Mg\left(\mu+\frac{L_0-x_k}{L_0}\right), \tag{2}\] где \(x_k=k\Delta L\). Подставляя значение силы из формулы (15) в соотношение (14), и заменяя \(\Delta L\) на \(dx\), \(x_k\) на \(x\), а \(y\) на \(dy\), получаем равенство \[dy=dx\left(1+\frac1\gamma+\frac{\mu-x/L_0}{\gamma}-\frac{f_0}{\gamma}\right).\] Поскольку \(\gamma=1\), определение длины пружины под нагрузкой сводится к интегрированию \[L_1=\int\limits_0^{L_0}\left(2+\mu-\frac{x}{L_0}-f_0\right)dx=\left(\frac32+\mu-f_0\right)L_0.\] Отметим, что интеграл может быть вычислен, как площадь под прямой.

Пункт 3. В этом пункте часть пружины не растягивается, на неё действует сила, меньшая, чем \(F_0\). Длина этого участка пружины равна \[L'=L_0\cdot f_0. \tag{3}\] В этом случае формула, дающая связь силы и координаты \(x\), аналогичная (15), имеет вид \[F=Mg\left(1-\frac{x}{L_0}\right). \tag{4}\] Длина растягивающейся части пружины равна \[L_2'=\int\limits_0^{L_0(1-f_0)}\left(1+\frac1\gamma-\frac{x}{\gamma L_0}-\frac{f_0}{\gamma}\right)dx. \tag{5}\] Вычисляя интеграл (18) и прибавляя длину нерастягивающейся части пружины (16), получаем ответ \[L_2=L'+L_2'=L_0\left(1+\frac{(1-f_0)^2}{2\gamma}\right).\]

Пункт 4. Изучив таблицу, заметим, что при значениях относительной массы груза \(\mu\ge0{,}8\) зависимость \(\delta L(\mu)\) линейная. Это означает, что при достаточно больших относительных массах груза все участки пружины удлиняются под нагрузкой (при малых \(\mu\) это не так). Рассуждая, как в пункте 2, получим для больших относительных масс соотношение \[\gamma=\frac{\delta L(\mu_2)-\delta L(\mu_1)}{\mu_2-\mu_1},\] из которого (с учётом значений, приведённых в таблице) следует ответ: \(\gamma=2\). Для определения относительной силы поджатия \(f_0\) используем результат предыдущего пункта. При \(\mu=0\) из формулы (19) следует соотношение \[\delta L(0)=\frac{(1-f_0)^2}{2\gamma}.\] Подставив найденное значение \(\gamma=2\) и \(\delta L(0)=0{,}01\) в эту формулу, находим второй ответ \(f_0=0{,}8\).