Нелинейная верёвка

В лаборатории исследуют свойства особой многожильной верёвки, сплетённой из волокон разных типов. Для описания свойств такой верёвки удобно использовать дифференциальную жёсткость \(k\), которая определяется как отношение малого изменения силы упругости \(\Delta F\) к вызванному им малому изменению удлинения \(\Delta x\): \[k=\frac{\Delta F}{\Delta x}.\] В лаборатории имеется большое количество образцов — отрезков исследуемой верёвки одинаковой длины. Всякий раз эксперимент проводят с новым образцом.

В опытах первого типа образец закрепляют и плавно увеличивают его растяжение \(x\), измеряя возникающую силу натяжения \(F\). Полученные данные свидетельствуют, что при достижении пороговых значений удлинения (в моменты разрыва внутренних волокон того или иного типа) сила натяжения скачкообразно уменьшается. Разорванные волокна при снятии нагрузки не восстанавливаются. На рис. 1 приведён график зависимости \(k\) от силы натяжения \(F\) (полужирные линии чёрного цвета), построенный по результатам этого исследования.

1. Используя график \(k(F)\), восстановите зависимость силы от удлинения \(F(x)\) для процесса растяжения образца. Постройте график \(F(x)\), отметив на осях значения в характерных точках.

В опытах второго типа один конец образца закрепляют, а к другому подвешивают лёгкое ведро. В ведро начинают равномерно подсыпать песок, так что его вес увеличивается линейно со временем. Через 30 мин вес достигает 50 Н, после чего песок начинают так же равномерно удалять до полного опустошения ведра (что занимает ещё 30 мин). Установка оснащена специальным демпфером, который мгновенно гасит колебания ведра при разрывах волокон.

2. Изобразите идеализированный график зависимости удлинения образца \(x\) от времени \(t\) на протяжении всех 60 мин эксперимента, полагая, что система в любой момент времени находится в положении равновесия.