Шайбами по барабану

Удар без трения — центральный: составляющая скорости шайбы, перпендикулярная линии центров, не меняется, и задача сводится к одномерному упругому удару. Прежде чем считать второй удар, проверьте, догонит ли шайба 2 уже движущийся барабан.

Определим скорость барабана после соударения с шайбой 1. Поскольку трения между шайбами и барабаном нет — все их удары центральные, и движение всех тел остаётся поступательным, а проекции скоростей тел на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными в процессе соударения. Введём вдоль линии центров ось \(y\), направленную от шайбы 1 к центру барабана. Пусть \(\alpha\) — угол между вектором скорости шайбы 1 и линией центров. Запишем систему из закона сохранения импульса в проекции на ось \(y\) и закона сохранения энергии: \[\begin{cases} m v_0\cos\alpha = M v_{M1} + m v_{1y} & \text{ЗСИ}\\[4pt] \dfrac{m v_0^2\cos^2\alpha}{2} + \dfrac{m v_0^2\sin^2\alpha}{2} = \dfrac{m v_{1y}^2}{2} + \dfrac{m v_0^2\sin^2\alpha}{2} + \dfrac{M v_{M1}^2}{2} & \text{ЗСЭ} \end{cases}\] Решая записанную систему уравнений, находим: \[v_{M1} = v_0\cos\alpha + v_{1y} = 2v_0\cos\alpha - \frac{M v_{M1}}{m} \;\Rightarrow\; v_{M1} = \frac{2m v_0\cos\alpha}{m + M}.\] Получим условие, при котором будет столкновение между шайбой 2 и барабаном. Если ввести ось \(z\), направленную от шайбы 2 к центру барабана, то условие столкновения будет заключаться в том, что проекция скорости барабана относительно шайбы 2 на ось \(z\) будет отрицательной, т. е. при условии: \[v_{z(\text{отн})} = -v_{M1}\cos2\alpha - v_0\cos\alpha = -v_0\cos\alpha\left(1 + \frac{2m\cos2\alpha}{m + M}\right) < 0.\] Поскольку \(\cos\alpha > 0\), данное условие можно записать следующим образом: \[1 + \frac{2m\cos2\alpha}{m + M} = 1 + \frac{2m(2\cos^2\alpha - 1)}{m + M} > 0 \;\Rightarrow\; \cos\alpha = \frac{S}{2R} > \sqrt{\frac{1}{4}\left(1 - \frac{M}{m}\right)} = \frac{1}{2\sqrt2},\] или же при условии: \[S > \frac{R}{\sqrt2}.\] Данное условие не выполнено при \(S_1 = R/2\), поэтому столкновения между барабаном и шайбой 2 не будет, а значит \(v_{M1} = u_1\): \[u_1 = \frac{m v_0}{m + M}\,\frac{S_1}{R} = \frac{v_0}{3}.\] Таким образом: \[v_0 = 3u_1.\]

При \(S_2 = R\) столкновение между барабаном и шайбой 2 будет, при этом \(\alpha_2 = 60^\circ\). В системе отсчёта, движущейся со скоростью \(\vec v_{M1}\), соударение сводится к рассмотренному ранее. В данной системе отсчёта проекция \(v_{2z}\) скорости шайбы 2 на ось \(z\) равняется: \[v_{2z} = v_0\cos\alpha + v_{M1}\cos2\alpha = \frac{v_0}{2} + \frac{2v_0}{3}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{v_0}{6}.\] В указанной системе отсчёта скорость барабана сразу после соударения равна:

\[v_{M2} = \frac{2m v_{2y'}}{m + M} = \frac{2v_0}{9}.\] Обратим внимание, что проекция скорости \(\vec v_{M2}\) на ось \(y\) является положительной, а значит, повторного столкновения барабана с шайбой 1 не будет.

Для скорости \(u_2\) имеем: \[u_2 = \sqrt{v_{M1}^2 + v_{M2}^2 - 2v_{M1}v_{M2}\cos2\alpha},\] откуда: \[u_2 = \frac{2\sqrt{13}\,u_1}{3}.\]