Шары и заземлённая оболочка

После соединения проволокой потенциалы шаров равны. Второй шар с оболочкой образует почти плоский конденсатор, его потенциал выражается через заряд и зазор \(d\).

\(Q_1=\dfrac{r_1d}{r_1d+r_2^2}Q,\quad Q_2=\dfrac{r_2^2}{r_1d+r_2^2}Q\).

11-5. Перераспределение зарядов (т.е. электрический ток) в любой системе прекратится после выравнивания потенциалов всех ее частей. Строгий расчет приведенной системы (с учетом электроемкости провода, взаимного влияния и т. д.) в общем случае достаточно сложен, однако особенности данной схемы дают нам возможность считать, что взаимным влиянием шаров можно пренебречь, а на поверхности концентрической проводящей оболочки будет индуцирован заряд обратной по знаку и равный по модулю заряду \(Q_2\) шара \(r_2\) (как в плоском конденсаторе). Пусть заряд шара \(r_1\) будет \(Q_1\). Тогда по закону сохранения заряда:

\[Q = Q _ { 1 } + Q _ { 2 } .\tag{1}\]

Потенциал \(\varphi _ { 1 }\) первого шара:

\[\varphi _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { Q _ { 1 } } { r _ { 1 } } ,\]

второго (по принципу суперпозиции потенциалов):

\[\varphi _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \left( \frac { Q _ { 2 } } { r _ { 2 } } - \frac { Q _ { 2 } } { r _ { 2 } + d } \right) = \frac { Q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { d } { r _ { 2 } ( r _ { 2 } + d ) } \approx \frac { Q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { d } { r _ { 2 } ^ { 2 } } .\]

Из условия \(\varphi _ { 1 } = \varphi _ { 2 }\) получаем второе уравнение:

\[\frac { Q _ { 1 } } { r _ { 1 } } = \frac { Q _ { 2 } } { r _ { 2 } } \cdot \frac { d } { r _ { 2 } } .\tag{2}\]

Решая систему уравнений (1)-(2) имеем:

\[\left\{ \begin{array} { l } { { Q _ { 1 } = \displaystyle \frac { r _ { 1 } d } { r _ { 1 } d + r _ { 2 } ^ { 2 } } Q } } \\ { { Q _ { 2 } = \displaystyle \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } } { r _ { 1 } d + r _ { 2 } ^ { 2 } } Q } } \end{array} \right. .\tag{3}\]

Заметим, что при \(d \to 0\) система (3) дает:

\[\left\{ \begin{array} { l } { { Q _ { 1 } = 0 } } \\ { { Q _ { 2 } = Q } } \end{array} \right.\tag{4}\]

что может быть прокомментировано следующим образом: электроемкость сферического конденсатора значительно возрастает, что позволяет ему сконденсировать на себе практически весь электрический заряд.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.