Стержень на вращающихся блоках

Блоки вращаются навстречу друг другу, поэтому силы трения скольжения направлены в противоположные стороны, а равнодействующая возвращает стержень к положению равновесия и пропорциональна смещению.

\(T=\pi\sqrt{\dfrac{2l}{\mu g}}\approx 1{,}5\) с.

11-4. Причина возникновения колебаний становится явной из рисунка. Сдвинем однородной стержень на расстояние \(x\), например, вправо. Поскольку центр тяжести (точка \(O'\) на рисунке) стержня при этом приблизится к правому цилиндру, то сила реакции опоры \(\vec{N}_1\) станет по величине больше \(\vec{N}_2\)

\[\begin{cases} N_1 = mg \frac{l + 2x}{2l} \\ N_2 = mg \frac{l - 2x}{2l} \end{cases} \quad N_1 > N_2 \left( 0 \le x \le \frac{l}{2} \right).\tag{1}\]

Уравнения (1) достаточно легко можно получить из условия равновесия стержня по вертикали (движение отсутствует) и отсутствия его вращения относительно центра масс. Так как цилиндры вращаются навстречу друг другу, то силы трения скольжения \(\vec{F}_1\) и \(\vec{F}_2\) также направлены навстречу друг другу. Их геометрическая сумма направлена к точке начального равновесия \(O\) и равна:

\[\Delta F = F_1 - F_2 = \mu N_1 - \mu N_2 = \mu(N_1 - N_2) = \mu mg\frac{2x}{l}\tag{2}\]

Таким образом, уравнение движения стержня принимает хорошо известный вид:

\[ma = -\mu mg\frac{2x}{l},\tag{3}\]

Уравнение (3) описывает гармонические колебания с периодом

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{2\mu g}} = \pi\sqrt{\frac{2l}{\mu g}} = 1{,}5\text{с}.\]

Интересно отметить, что приведенный пример гармонических колебаний не нуждается в традиционном критерии малости: в однородном гравитационном поле мы должны побеспокоится только о том, чтобы центр тяжести стержня не вышел за цилиндр:

\[x \le \frac{l}{2}.\tag{4}\]

При этом величина амплитуды ограничивается только нашими «техническими» возможностями при демонстрации, а не принципиальными теоретическими положениями, как это было в случае математического и пружинного маятников.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.