Окружность и диаметр

Расстояние между телами растёт, пока проекции их скоростей на соединяющую прямую имеют разные знаки или одинаковые знаки с большей скоростью у убегающего тела. Когда это перестаёт выполняться?

Расстояние между двумя телами растёт, если проекции их скоростей на соединяющую прямую имеют разные знаки или одинаковы по знаку, но у догоняющего тела меньше, и уменьшается при обратном соотношении. Скорость тела, движущегося по диаметру, направлена вдоль диаметра, а второго — по касательной к окружности; обе по величине равны \(v\). До момента, когда второе тело пройдёт четверть окружности, проекции скоростей на соединяющую прямую имеют разные знаки, и расстояние растёт. После этого скорость тела на окружности направлена под меньшим углом к соединяющей прямой, и расстояние уменьшается. Значит, максимум достигается, когда тело на окружности прошло четверть окружности: \[t = \frac{\pi R}{2v}.\]

Тело на диаметре за это время пройдёт \(x = vt = \dfrac{\pi R}{2}\). По теореме Пифагора расстояние между телами \[S = \sqrt{\left(\frac{\pi R}{2} - R\right)^2 + R^2} = \frac{R}{2}\sqrt{(\pi - 2)^2 + 4}.\]