На «стадионе»

Когда колонна сокращается, а когда растёт? Подумайте, в какой момент сближаются крайние тела, и посмотрите, где в такие моменты оказывается среднее по скорости тело.

Наименьшая длина колонны достигается в тот момент, когда самое быстрое тело встречается с самым медленным. Действительно, за миг до этого момента 1-е тело сокращало расстояние до 3-го тела. Где бы ни находилось в это время 2-е тело, «впереди» 3-го тела или «позади» 1-го, длина колонны уменьшалась. Сразу после встречи 1-го и 3-го тел длина колонны будет увеличиваться, при любом положении 2-го тела.

Впервые быстрое и медленное тела встретятся через время \(\dfrac{2\text{ м}}{4\text{ м/с}-3\text{ м/с}} = 2\) с в том месте, откуда стартовало третье тело. К этому моменту 2-е тело пройдёт расстояние \(7{,}2\) м и окажется «впереди» других тел на «расстоянии» 20 см. При дальнейшем движении первое и третье тела будут встречаться через каждые 3 с в одном и том же месте — точке старта третьего тела. За 3 с второе тело проходит 3 круга и \(1{,}8\) м. Следовательно, в момент второй встречи первого и третьего тел второе тело находится на расстоянии \(20\text{ см} + 180\text{ см} = 200\) см по ходу движения. Длина колонны в этом случае равна 100 см. В момент третьей встречи расстояние между вторым телом и двумя другими равно \(200\text{ см} + 180\text{ см} - 300\text{ см} = 80\) см по ходу движения. Длина колонны равна 80 см. Аналогично рассуждая, находим длину колонны в момент четвёртой, пятой и шестой встреч первого и третьего тел. В момент четвёртой встречи длина колонны равна 40 см (второе тело находится на таком расстоянии «позади» первого и третьего тел), в момент пятой встречи длина колонны равна 140 см (второе тело находится на таком расстоянии «впереди» первого и третьего тел). А в момент шестой встречи длина колонны составит 20 см и второе тело окажется в той же точке окружности, что и в момент первой встречи первого и третьего тел. Значит, в ходе дальнейшего движения тел всё будет повторяться. Следовательно, минимальная длина колонны равна 20 см.