Цилиндр с нитью на наклонной плоскости

Обоснование. 1. Рассматриваем задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, считая её инерциальной. 2. Цилиндр описываем моделью твёрдого тела (форма и размеры неизменны). 3. Так как тело не движется поступательно, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. 4. Так как тело не вращается, алгебраическая сумма моментов сил относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно рисунку, равна нулю.

Решение. 1. На цилиндр действуют сила тяжести \(m\vec g\), нормальная составляющая силы реакции опоры \(\vec N\), сила натяжения нити \(\vec T\) и сила трения \(\vec F_{тр}\). Условия равновесия в проекциях на оси: \(Ox\): \(mg\sin\alpha - T - F_{тр} = 0\) (1); \(Oy\): \(N - mg\cos\alpha = 0\) (2).

2. Уравнение моментов сил относительно оси через центр цилиндра: \(TR - F_{тр}R = 0\), откуда \(T = F_{тр}\) (3).

3. Рассмотрим максимальное значение силы трения покоя, равное силе сухого трения скольжения: \(F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\) (4).

4. Из (1)–(4) получаем \(mg\sin\alpha = 2\mu mg\cos\alpha\), т.е. \(\tg\alpha = 2\mu = 2\cdot0{,}5 = 1\), следовательно, \(\alpha_{max} = 45^\circ\).

Ответ: \(\alpha_{max} = 45^\circ\).