Тело на нити и лунка

После рывка нити тело движется по прямой до момента натяжения нити в точке \(D\). При упругом натяжении сохраняется угол между нитью и скоростью. Рассмотрите треугольник \(ACD\) и теорему синусов.

Сразу после толчка нить перестаёт быть натянутой и не оказывает сопротивления движению тела. Тело движется прямолинейно под углом \(\alpha\) к первоначальному направлению нити (вдоль прямой \(BD\)) с постоянной скоростью до момента, когда нить снова натянется в точке \(D\). При натяжении сила направлена вдоль нити, поэтому она меняет только составляющую скорости вдоль нити, а перпендикулярная составляющая сохраняется. Так как нить упругая, продольная составляющая после растяжения меняет знак, и угол между нитью и скоростью до и после натяжения одинаков. После этого тело движется прямолинейно вдоль прямой \(DC\).

Треугольник \(BAD\) равнобедренный (\(AB=AD=l\)), поэтому \(\angle ABD=\angle BDA=\alpha\). Угол \(ADC\) также равен \(\alpha\), следовательно \(\angle BAD=180^\circ-2\alpha\), \(\angle DAC=2\alpha\), \(\angle ACD=180^\circ-3\alpha\). По теореме синусов для треугольника \(ACD\): \[\frac{l}{\sin(180^\circ-3\alpha)} = \frac{l/2}{\sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \sin3\alpha = 2\sin\alpha.\] Корни \(\alpha=0\) и \(\alpha=180^\circ\) не подходят: первый соответствует толчку вдоль нити, второй — толчку назад, и в обоих случаях условие однократного натяжения не выполнено. Остаётся \(\alpha = 30^\circ\).