Шарики на изогнутом стержне

Максимальная скорость достигается в положении равновесия системы. Как связано изменение потенциальной энергии системы с кинетической энергией двух шариков?

Система имеет положение равновесия, в котором стержни симметричны относительно вертикали, проходящей через ось вращения, то есть составляют угол \(45^\circ\) с вертикалью. Скорость шариков максимальна именно в этом положении, где потенциальная энергия системы минимальна.

Уровень отсчёта потенциальной энергии совпадает с начальным положением нижнего шарика. Тогда в начальном положении \(\Pi_н = mgL\). В конечном положении каждый шарик находится на высоте \(L - L\cos45^\circ = \dfrac{L(2-\sqrt{2})}{2}\), поэтому \(\Pi_к = mgL(2-\sqrt{2})\). Изменение потенциальной энергии системы \[\Delta\Pi = \Pi_н - \Pi_к = mgL\left(\sqrt{2}-1\right).\] По закону сохранения энергии эта убыль равна кинетической энергии двух шариков с одинаковыми скоростями \(v\): \[2\cdot\frac{mv^2}{2} = mgL\left(\sqrt{2}-1\right), \qquad v = \sqrt{gL\left(\sqrt{2}-1\right)}.\]