Конвейер и прибор контроля

Прибор движется по ленте относительно деталей; количество проверенных деталей — это число деталей, которые прибор догонит или встретит до конца ленты. Выразите его через отношение времени прохода ленты к периоду встреч.

Во время проведения олимпиады условие было уточнено: прибор начинает считать детали одновременно с выпуском новой детали, в том числе считает её. Решение приведено в соответствии с этим уточнением.

Качественно: если скорость прибора равна скорости ленты, он посчитает одну начальную деталь. При скорости прибора больше скорости ленты он «догоняет» предыдущие детали; при некоторой скорости он догонит следующую деталь ещё на ленте и посчитает уже две детали, и т.д. Однако прибор может посчитать лишь те детали, которые изначально лежали на ленте, поэтому по достижении некоторой скорости прибор будет считать все детали, которые лежали на ленте в начальный момент, и дальнейшее увеличение скорости эффекта не даст. При скорости прибора меньше скорости ленты детали догоняют прибор. Чем меньше скорость ленты относительно прибора, тем дольше он проходит ленту и тем больше деталей успевает его обогнать; при стремлении скорости прибора к нулю количество проверенных деталей стремится к бесконечности.

Расстояние между соседними деталями \(l=30\) см; время, которое прибор затрачивает на прохождение всей ленты, \(T=500\,\text{см}/u\). Скорость сближения прибора и деталей равна \(|u-10\,\text{см/с}|\), поэтому прибор проверяет деталь каждые \(\tau=\dfrac{l}{|u-10\,\text{см/с}|}\) секунд. Тогда прибор успеет посчитать \[N=1+\left\lfloor\frac{T}{\tau}\right\rfloor=1+\left\lfloor\frac{500\,|u-10|}{u\,l}\right\rfloor.\] Пользуясь качественным описанием и явным выражением, строим итоговый график (см. рисунок).