Колдунья Бастинда и варево
6/10Злая колдунья Бастинда варит зелье, постоянно домешивая туда различные ингредиенты. Исключительно в колдовских целях она постоянно измеряет его объём и плотность, нанося измерения на графики (представлены справа). Найдите зависимость массы варева как функцию времени. Постройте график.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаМасса равна произведению объёма на плотность. На каждом участке графиков объём и плотность линейны по времени; найдите их выражения по двум точкам.
ОтветНа интервале \(0\le t\le 6\) ч масса \(m(t)=-\dfrac{t^2}{60}+\dfrac{2t}{15}+3\) кг (парабола с максимумом при \(t=4\) ч); на интервале \(6\le t\le 8\) ч масса растёт линейно от \(3{,}2\) кг до \(3{,}6\) кг; при \(t\ge 8\) ч масса постоянна и равна \(3{,}6\) кг. График — см. рисунок.
РешениеРазделим график условно на три части: от начального момента до \(t=6\) ч, от \(t=6\) до \(t=8\) ч и от \(8\) ч и далее. С \(8\) ч масса варева не изменяется и равна \(3{,}6\) кг. От \(6\) до \(8\) ч объём варева постоянен, меняется только плотность, поэтому график массы линеен. В момент \(t=6\) ч масса равна \(1{,}6\cdot2=3{,}2\) кг.
Для первой части запишем зависимости объёма и плотности от времени (учитываем \(1000\) кг/м\(^3=1\) кг/л): \[V(t)=3-\frac{1}{6}t~\text{л},\qquad \rho(t)=1+0{,}1t~\text{кг/л}.\] Масса в любой момент — произведение объёма и плотности: \[m(t)=\left(3-\frac{t}{6}\right)(1+0{,}1t)=-\frac{t^2}{60}+\frac{2t}{15}+3.\] Это часть параболы с максимумом в точке \(t=-b/(2a)=4\) ч. Остаётся построить сводный график по трём частям.
Похожие задачи
- Дом из кубиков Санкт-Петербургская 2012/13, 7 кл.
- Взвешивание без весов Максвелл 2013/14, 8 кл.
- Где тут плотность? (теоретический тур) Максвелл 2015/16, 7 кл.
- Масса и объём осколка Санкт-Петербургская 2015/16, 7 кл.
- Шпилька и гайки (экспериментальный тур) Максвелл 2016/17, 7 кл.
- Золушка ВсОШ 2017/18, 10 кл.