Проволока (теоретический тур)

Выразите массы частей через полную массу \(m\). Масса второй части фиксирована, поэтому её линейная плотность минимальна тогда, когда её длина максимальна. Длина второй части не превышает \(3/4\) всей длины проволоки.

Средняя линейная плотность \(\lambda_{\text{ср}} = m/l\), где \(m\) — масса всей проволоки, \(l\) — её длина. По условию \(m_1 = \tfrac{m}{6}\), \(m_2 = \tfrac{m}{3}\), \(m_3 = m_1 + m_2\), откуда \(m_1 = m/6\) и \(m_1 = \lambda_1\,\tfrac{l}{4}\). Тогда \(\lambda_{\text{ср}} = \tfrac{3}{2}\lambda_1 = 45\) г/дм.

Масса второй части \(m_2 = m/3\) фиксирована, а её длина не может превышать \(\tfrac{3}{4}l\). Тогда \(\lambda_{2,\min} = \dfrac{m/3}{3l/4} = \dfrac{4}{9}\,\lambda_{\text{ср}} = 20\) г/дм.