Упругий удар шайб под углом

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вдоль перпендикуляра к линии центров со скоростью \(V_0\sin\alpha\): в ней столкновение центральное и одномерное.

Введём неподвижную систему отсчёта \(K\), связанную со льдом. Направим ось \(x\) этой системы вдоль отрезка, соединяющего шайбы, а ось \(y\) — в сторону движения шайб. Обозначим через \(V_0\) начальную скорость шайб в системе \(K\). Перейдём в систему отсчёта \(K'\), движущуюся поступательно относительно системы \(K\) в направлении оси \(y\) со скоростью \(V' = V_0\sin\alpha\). Оси системы \(K'\) будем считать параллельными осям системы \(K\). В системе \(K'\) имеем центральное абсолютно упругое столкновение шайб, движущихся навстречу друг другу вдоль оси \(x'\) с одинаковыми начальными скоростями \(V_0\cos\alpha\). Обозначим через \(\vec U_1\) и \(\vec U_2\) скорости шайб после столкновения в системе \(K'\). Эти векторы направлены по или против оси \(x'\). Запишем законы сохранения импульса и энергии в системе \(K'\): \[m_1V_0\cos\alpha - m_2V_0\cos\alpha = m_1U_1 + m_2U_2,\] \[\frac{m_1V_0^2\cos^2\alpha}{2} + \frac{m_2V_0^2\cos^2\alpha}{2} = \frac{m_1U_1^2}{2} + \frac{m_2U_2^2}{2}.\] Здесь \(U_1\) и \(U_2\) — проекции векторов \(\vec U_1\) и \(\vec U_2\) на ось \(x'\). Обозначим через \(k\) отношение масс шайб: \[k = \frac{m_1}{m_2}.\] Тогда уравнения принимают вид: \[k(V_0\cos\alpha - U_1) = U_2 + V_0\cos\alpha, \qquad k(V_0^2\cos^2\alpha - U_1^2) = U_2^2 - V_0^2\cos^2\alpha.\] Перепишем последнее уравнение так: \[k(V_0\cos\alpha - U_1)(V_0\cos\alpha + U_1) = (U_2 + V_0\cos\alpha)(U_2 - V_0\cos\alpha).\] Поскольку подчёркнутые сомножители совпадают, уравнение упрощается: \[V_0\cos\alpha + U_1 = U_2 - V_0\cos\alpha \;\Rightarrow\; U_2 = 2V_0\cos\alpha + U_1.\] Отметим, что формально сомножители могут обращаться в нуль при \(U_1 = V_0\cos\alpha\) и \(U_2 = -V_0\cos\alpha\). Этот случай соответствует отсутствию взаимодействия между шайбами и должен быть отброшен как нефизический.

Окончательно получаем систему двух линейных уравнений для скоростей \(U_1\) и \(U_2\): \[k(V_0\cos\alpha - U_1) = U_2 + V_0\cos\alpha, \qquad U_2 = 2V_0\cos\alpha + U_1.\] Подставляя значение \(U_2\) в первое уравнение, получаем: \[U_1 = \left(\frac{k-3}{k+1}\right)V_0\cos\alpha, \qquad U_2 = 2V_0\cos\alpha + U_1 = \left(\frac{3k-1}{k+1}\right)V_0\cos\alpha.\] При \(k = 3\) имеем: \(U_1 = 0\), \(U_2 = 2V_0\cos\alpha\).

Таким образом, в системе отсчёта \(K'\) тяжёлая шайба 1 после столкновения останавливается, а лёгкая шайба 2 движется в направлении оси \(x'\) с удвоенной скоростью. Конечные скорости шайб в неподвижной системе отсчёта \(K\) равны: \[\vec V_1 = \vec V' + \vec U_1 = \vec V', \qquad \vec V_2 = \vec V' + \vec U_2.\]

Векторы \(\vec V'\), \(\vec U_2\) и \(\vec V_2\) образуют прямоугольный треугольник, из которого можно легко найти угол \(\beta\): \[\operatorname{tg}\beta = \frac{U_2}{V'} = \frac{2V_0\cos\alpha}{V_0\sin\alpha} = 2\operatorname{ctg}\alpha \;\Rightarrow\; \beta = \operatorname{arctg}(2\operatorname{ctg}\alpha) = 74^\circ.\] Ответ: \(\beta = \operatorname{arctg}(2\operatorname{ctg}\alpha) = 74^\circ\).