Теплота при замыкании ключа

Сравните суммарную работу батарей при перераспределении зарядов с приращением энергии конденсаторов: разность и даст выделившуюся теплоту.

До замыкания ключа напряжение на каждом конденсаторе равно \(\varepsilon/2\). Заряды конденсаторов совпадают: \[q_1 = \frac{C\varepsilon}{2}.\] Суммарная начальная энергия конденсаторов: \[W_1 = 2\cdot\frac{C(\varepsilon/2)^2}{2} = \frac{C\varepsilon^2}{4}.\]

Обозначим через \(q_2\) и \(q_3\) заряды верхнего и нижнего конденсаторов, установившиеся после замыкания ключа. Напряжения на этих конденсаторах равны соответственно \(2\varepsilon\) и \(\varepsilon\). Заряды конденсаторов: \[q_2 = 2C\varepsilon, \qquad q_3 = C\varepsilon.\] Суммарная конечная энергия конденсаторов: \[W_2 = \frac{C(2\varepsilon)^2}{2} + \frac{C\varepsilon^2}{2} = \frac{5C\varepsilon^2}{2}.\] Приращение энергии: \[\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{5C\varepsilon^2}{2} - \frac{C\varepsilon^2}{4} = \frac{9C\varepsilon^2}{4}.\]

Рассмотрим работу, которую совершили батареи при перераспределении зарядов. Через батарею с ЭДС \(\varepsilon\), против направления её действия, прошёл положительный заряд \((q_1 + q_3)\). Работа батареи равна: \[A_1 = -\varepsilon(q_1 + q_3) = -\varepsilon\left(\frac{C\varepsilon}{2} + C\varepsilon\right) = -\frac{3C\varepsilon^2}{2}.\] В направлении действия батареи с ЭДС \(2\varepsilon\) прошёл положительный заряд \((q_2 + q_3)\). Работа этой батареи равна: \[A_2 = 2\varepsilon(q_2 + q_3) = 2\varepsilon(2C\varepsilon + C\varepsilon) = 6C\varepsilon^2.\] Суммарная работа батарей: \[A = A_1 + A_2 = -\frac{3C\varepsilon^2}{2} + 6C\varepsilon^2 = \frac{9C\varepsilon^2}{2}.\] Обозначим через \(Q\) количество теплоты, выделившейся в цепи после замыкания ключа. Найдём его из уравнения баланса энергии: \[A = \Delta W + Q \;\Rightarrow\; Q = A - \Delta W = \frac{9C\varepsilon^2}{2} - \frac{9C\varepsilon^2}{4} = \frac{9C\varepsilon^2}{4} = 0{,}9 \text{ мДж}.\] Ответ: \(Q = \dfrac{9C\varepsilon^2}{4} = 0{,}9\) мДж.