Две линзы и экран

Постройте изображение стрелки в первой линзе по формуле тонкой линзы, а затем используйте его как предмет для второй линзы; подобие треугольников даст ответ.

Обозначим через \(A_1\) прямое мнимое изображение стрелки \(A\), построенное рассеивающей линзой \(L_1\). Это изображение расположено между стрелкой \(A\) и линзой. Его вершина лежит на луче, проходящем через вершину \(A\) и оптический центр линзы. Обозначим через \(h_1\) высоту этого изображения и через \(c\) его расстояние до линзы \(L_1\). По формуле линзы: \[\frac{1}{a} - \frac{1}{c} = -\frac{1}{F_1} \;\Rightarrow\; \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{F_1}, \qquad c = \frac{aF_1}{a + F_1}.\] Высоту изображения \(h_1\) находим из подобия треугольников: \[\frac{h_1}{h} = \frac{c}{a} \;\Rightarrow\; h_1 = \frac{hc}{a} = \frac{hF_1}{a + F_1}.\]

Изображение \(A_1\) играет роль предмета для собирающей линзы \(L_2\), которая строит его действительное перевёрнутое изображение \(A_2\) на экране \(B\). Вершина стрелки \(A_2\) лежит на луче, проходящем через вершину стрелки \(A_1\) и оптический центр линзы \(L_2\). Высота этой стрелки равна \(H\). Обозначим через \(b\) расстояние от линзы \(L_2\) до экрана. Учитывая, что расстояние от изображения \(A_1\) до линзы \(L_2\) равно \((s + c)\), получаем: \[\frac{1}{s + c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F_2} \;\Rightarrow\; \frac{1}{b} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{s + c}, \qquad b = \frac{F_2(s + c)}{s + c - F_2}.\]

Из подобия треугольников следует, что: \[\frac{H}{h_1} = \frac{b}{s + c} \;\Rightarrow\; H = h_1\cdot\frac{b}{s + c} = \frac{hF_1}{a + F_1}\cdot\frac{F_2}{s + c - F_2}.\] Здесь имеем: \[(a + F_1)(s + c - F_2) = (a + F_1)\left(s - F_2 + \frac{aF_1}{a + F_1}\right) = (a + F_1)(s - F_2) + aF_1.\] Окончательно получаем: \[x = \frac{H}{h} = \frac{F_1F_2}{(a + F_1)(s - F_2) + aF_1} = 0{,}4.\] Ответ: \(x = \dfrac{F_1F_2}{(a + F_1)(s - F_2) + aF_1} = 0{,}4\).