Стержень на шинах с двумя резисторами

ЭДС индукции в стержне равна \(BaV\); сопротивления \(R\) и \(2R\) включены параллельно относительно стержня, найдите полное сопротивление цепи.

Рассмотрим общую схему, в которой сопротивление движущегося стержня равно \(R\), а шины замкнуты через сопротивления \(R_1\) и \(R_2\). В этой схеме имеем два плоских замкнутых контура 1 и 2. Первый контур включает в себя движущийся стержень и сопротивление \(R_1\), второй — стержень и сопротивление \(R_2\). Направим вектор \(\vec n\) единичной нормали к плоскости контуров вдоль вектора магнитной индукции. Положительное направление обхода контуров связано с направлением вектора \(\vec n\) правилом правого винта (правилом буравчика). В нашем случае это направление по часовой стрелке. Рассмотрим ЭДС индукции, возникающие в контурах при движении стержня. За время \(\Delta t\) стержень перемещается на расстояние \(V\Delta t\). Приращение площади первого контура равно: \[\Delta S_1 = aV\Delta t.\]

Приращение магнитного потока через первый контур: \[\Delta\Phi_1 = \vec B\cdot\vec n\,\Delta S_1 = BaV\Delta t.\] ЭДС индукции, действующая в первом контуре: \[\varepsilon_1 = -\frac{\Delta\Phi_1}{\Delta t} = -BaV.\] Знак минус означает, что ЭДС действует против положительного направления обхода, то есть против часовой стрелки. Площадь второго контура при движении стержня уменьшается. Поэтому её приращение за время \(\Delta t\) отрицательно: \(\Delta S_2 = -\Delta S_1\). Приращение магнитного потока через второй контур: \[\Delta\Phi_2 = \vec B\cdot\vec n\,\Delta S_2 = -BaV\Delta t.\] ЭДС индукции, действующая во втором контуре: \[\varepsilon_2 = -\frac{\Delta\Phi_2}{\Delta t} = BaV.\] Эта ЭДС действует по часовой стрелке. Обозначим \(\varepsilon = |\varepsilon_1| = \varepsilon_2 = BaV\).

Рассмотрим эквивалентную схему, обеспечивающую правильное направление действия ЭДС индукции \(\varepsilon\) (против часовой стрелки в первом контуре и по часовой стрелке во втором). Учитывая, что в нашей задаче физической причиной возникновения ЭДС является действие силы Лоренца на электроны проводимости в движущемся стержне, в эквивалентной схеме заменим стержень батареей с ЭДС \(\varepsilon\) и сопротивлением \(R\). В этой схеме нужно найти силу тока \(I\), текущего через батарею. Сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) соединены параллельно. Их общее сопротивление равно \(R_1R_2/(R_1 + R_2)\). Общее сопротивление цепи: \[R_0 = R + \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}.\] Искомая сила тока: \[I = \frac{\varepsilon}{R_0} = \frac{\varepsilon(R_1 + R_2)}{R(R_1 + R_2) + R_1R_2}.\]

В частном случае, когда \(R_1 = R\) и \(R_2 = 2R\), получаем: \[I = \frac{\varepsilon\cdot 3R}{R\cdot 3R + 2R^2} = \frac{3\varepsilon}{5R} = \frac{3BaV}{5R} = 20 \text{ мА}.\] Ответ: \(I = \dfrac{3BaV}{5R} = 20\) мА.