Задачи › Давление жидкости

Гидростатический чёрный ящик

  1. Гидростатический чёрный ящик

    ВсОШ 2018/19, 9 кл.
    6/10

    Имеется прямоугольный сосуд размерами \(1\times1\times4\) м. В верхней крышке сосуда есть отверстие. В нижней части сосуда вплотную ко дну смонтирован миниатюрный датчик давления. Внутри сосуда может быть расположено произвольное число перегородок и закрытых ими полостей. Каждая перегородка имеет пренебрежимо малый объём и расположена горизонтально или вертикально. Все вертикальные перегородки параллельны одной и той же стенке сосуда.

    Через верхнее отверстие в сосуд медленно заливают воду, снимая при этом зависимость показаний датчика давления от объёма налитой воды. Полученная зависимость представлена на графике. Проанализируйте её и нарисуйте на выданном вам листе возможную схему расположения перегородок в сосуде, соответствующую данному графику (достаточно любой одной схемы из множества возможных). На схеме укажите масштаб и все характерные размеры. Поясните, каким образом вы получили эти размеры и определили характерные особенности расположения перегородок.

    Считайте \(g = 10\) м/с\(^2\), плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), атмосферное давление \(p_0 = 100\) кПа.

    Рисунок
    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Пересчитайте давление в высоту столба воды над датчиком. Площадь свободной поверхности найдите из связи \(\Delta V = S\,\Delta h\): где при равном приросте давления объём меньше, там поверхность больше. Горизонтальные участки графика соответствуют моментам, когда вода переливается через перегородку.

    Ответ

    Сосуд заполнен доверху. На высоте \(0\)–\(0{,}5\) м — отсек A объёмом \(0{,}1\) м\(^3\); на высоте \(0{,}5\)–\(1{,}5\) м — отсек B объёмом \(0{,}25\) м\(^3\) (вместе с A высота \(0{,}5\) м); отсек C объёмом \(0{,}45\) м\(^3\) высотой \(1{,}5\) м; полость D над высотой \(2{,}0\) м. Схема — один из возможных вариантов расположения перегородок (см. решение).

    Решение

    Мы видим несколько участков линейного увеличения давления. Измеряемое датчиком давление \(p = p_0 + \rho g h\), где \(h\) — высота свободной поверхности воды над датчиком давления (дном сосуда). Из графика видно, что в конце процесса сосуд оказался заполнен доверху.

    Пусть в сосуд долили небольшой объём воды \(\Delta V\), который растёкся по свободной поверхности уже налитой жидкости. Пусть площадь свободной поверхности воды равна \(S\), тогда \(\Delta V = S\,\Delta h = \dfrac{S\,\Delta p}{\rho g}\), откуда \(S = \rho g\,\dfrac{\Delta V}{\Delta p}\).

    Найдём площади свободной поверхности жидкости для каждого линейного участка возрастания давления. Результаты (высота \(h\) от дна, м — площадь \(S\), м\(^2\)): на участке \(0{,}0\)–\(0{,}5\) — \(S = 0{,}2\); на участке \(0{,}5\)–\(1{,}5\) — \(S = 0{,}7\); на участке \(1{,}5\)–\(2{,}0\) — \(S = 1{,}0\); на участке \(2{,}0\)–\(4{,}0\) — \(S = 0{,}5\). Из этого видно, что только в диапазоне высот \(1{,}5\)–\(2{,}0\) м от дна вода заполняла сосуд по всей его площади.

    Теперь разберёмся с горизонтальными участками графика. Как возможно, что при увеличении объёма воды в сосуде давление у дна не возрастает? Это возможно, если в определённый момент времени вода достигает верха некоторой перегородки и затем переливается через неё, а когда уровень воды за перегородкой сравняется с уровнем воды перед перегородкой, давление на дно вновь начинает расти. Из графика видно, что объёмы частей A, B и C составляют соответственно \(0{,}1\) м\(^3\); \(0{,}25\) м\(^3\) и \(0{,}45\) м\(^3\). Часть D представляет собой полость, образованную горизонтальной и вертикальной перегородками.

    На рисунке приведён один из возможных примеров расположения перегородок в сосуде. Одна клетка соответствует \(0{,}1\) м.

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх