Электрический эксперимент

Пока диод светится, напряжение на нём постоянно и равно \(U_c\), так что конденсатор разряжается экспоненциально к \(U_c\). Диод гаснет в тот момент, когда весь ток идёт через неизвестный резистор; запишите это условие для двух разных \(R\) и поделите уравнения.

\(C=\Bigl(\dfrac{\tau_2}{R_2}-\dfrac{\tau_1}{R_1}\Bigr)\Big/\ln\dfrac{R_1}{R_2}\approx 13\) мкФ.

Начинаем с зарядки конденсатора (ждём достаточно долго, чтобы напряжения источника и конденсатора выровнялись, — порядка времени разрядки, см. ниже). Конденсатор будет разряжаться через диод и два сопротивления (неизвестное \(r\) параллельно диоду) по схеме на рисунке. Проводим два опыта, используя в качестве последовательно включённого резистора \(R\) оба имеющихся резистора с известными сопротивлениями, \(R=R_1\) и \(R=R_2\).

На рисунке: \(r\) — неизвестный резистор, параллельный светодиоду, \(R\) — последовательный резистор, справа — конденсатор.

Начальное напряжение конденсатора \(U_0=\mathcal E\); падение напряжения на диоде постоянно (пока он излучает свет) — точно как на источнике напряжения. Поэтому напряжение на конденсаторе экспоненциально приближается к этому значению: \[U-U_c=(\mathcal E-U_c)e^{-t/RC}.\] Диод перестаёт гореть, когда весь ток \(I=(U-U_c)/R\) идёт через неизвестный резистор, \(I=U_c/r\). Таким образом, в момент погасания (\(t=\tau\)) \[r(\mathcal E-U_c)e^{-\tau/RC}=RU_c.\] Переписывая последнее равенство для обоих экспериментов, \[\begin{align*} r(\mathcal E-U_c)e^{-\tau_1/R_1C}&=R_1U_c,\\ r(\mathcal E-U_c)e^{-\tau_2/R_2C}&=R_2U_c. \end{align*}\] Деля их друг на друга и логарифмируя, получаем \[C=\Bigl(\frac{\tau_2}{R_2}-\frac{\tau_1}{R_1}\Bigr)\Big/\ln\frac{R_1}{R_2}.\] Проведя для обоих случаев по 3–5 измерений и найдя средние (\(\tau_1\approx 37\) с, \(\tau_2\approx 32{,}4\) с), находим \(C\approx 13\) мкФ.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.