Задачи › Исследование установки, «процессы и измерения»

Эксперимент по оптике

  1. Эксперимент по оптике

    NBPhO 2005/06, заключительный этап, 11 кл. · №25721
    8/10PDF: условиес решением

    (10 баллов) Оборудование: цилиндрическая бутылка, наполненная водой и имеющая миллиметровую шкалу на половине периметра (видимую при взгляде сквозь бутылку); измерительная рулетка.

    1. Определите, какая длина дуги измерительной шкалы бутылки была бы видна одновременно при взгляде на неё сквозь бутылку из очень удалённой точки (много дальше диаметра бутылки), считая, что точка наблюдения лежит на высоте миллиметровой шкалы.

    2. Используя результаты предыдущего эксперимента, определите угловой радиус радуги (угол между лучом, приходящим в глаз наблюдателя от радуги, и осью конуса, образованного другими такими лучами).

    Замечание: радуга образуется теми лучами, которые входят в сферическую каплю воды, один раз отражаются от её поверхности изнутри и выходят из капли после второго преломления. Заметьте, что внутреннее отражение лишь частичное, а не полное, см. рисунок. Угол выхода \(\alpha\) имеет максимум как функция прицельного параметра \(b\); угловой радиус радуги равен максимальному углу выхода [действительно, если свет интенсивности \(I_0\) падает на каплю со всеми возможными прицельными параметрами \(b<r\), то световая энергия на интервал прицельного параметра \(\Delta b\) равна \(2I_0\pi b\,\Delta b\); следовательно, энергия на интервал угла выхода \(\Delta\alpha\) равна \(\Delta I/\Delta\alpha=2I_0\pi b\,\Delta b/\Delta\alpha=2I_0\pi b\,(d\alpha/db)^{-1}\), что расходится вблизи максимума функции \(\alpha(b)\)].

    Рисунок

    На рисунке: окружность — капля воды, \(b\) — прицельный параметр, \(\alpha\) — угол выхода луча.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Шкала, видимая через бутылку издалека, ограничена лучами, которые после преломления идут по касательной; та же геометрия лучей работает и в капле при максимальном угле выхода радуги.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(d\approx 22\) мм (при \(R=31\) мм);  2) \(\alpha=d/R\approx 41^\circ\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1) Взгляд на бутылку издалека показывает, что центральная часть шкалы не перевёрнута, в отличие от изображения на самом краю бутылки. Точка поворота соответствует одному концу видимой части приклеенной шкалы (другой конец расположен симметрично). При взгляде с меньших расстояний видимая часть получается больше (серая линия \(c\) на рисунке), чем в случае очень большого расстояния (чёрная линия \(d\)). В последнем случае луч (на рисунке \(a\)) преломляется при входе в бутылку на некоторый угол; при наблюдении с меньших расстояний один луч (\(b\) на рисунке) преломляется на тот же угол. Эти два луча совпадают после поворота на угол \(\beta\) вокруг центра бутылки. Итак, часть шкалы, заданная серой линией на рисунке, длиннее чёрной линии как минимум на \(2R\beta\). Измерения следует проводить с как можно большим \(L\); результат измерения нужно скорректировать, вычтя \(2R\beta\), где \(\beta=\arcsin(l/2L)\).

    Рисунок

    На рисунке: \(L\) — расстояние от глаза до центра бутылки, \(l\) — хорда, \(a\), \(b\) — лучи, \(c\) — видимая дуга шкалы, \(d\) — её предельное значение, \(\beta\) — угол.

    Как вариант, можно измерять \(c\) при разных значениях \(L\) и представить результаты на графике. Имеет смысл взять \(1/L\) в качестве масштаба по горизонтальной оси. Тогда \(L=\infty\) соответствует началу координат, к которому кривую легко экстраполировать.

    Измерения дают \(d\approx 22\) мм (при \(R=31\) мм).

    2) Сравнивая геометрию лучей для предыдущей задачи (в связи с куском шкалы \(c\)) и геометрию лучей в радуге, оказывается, что геометрия на самом деле одинакова, причём \(\dfrac d2=R\dfrac\alpha2\), см. рисунок. Итак, \(\alpha=d/R\). Используя данные из предыдущей части, \(\alpha\approx 41^\circ\).

    Рисунок

    На рисунке: \(\alpha/2\) — половина угла выхода, \(d\) — дуга шкалы.

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх