Распространение радиоволн

Подсказка

Мощность в децибелах линейно зависит от пути, пройденного в поглощающей или запредельной среде: наклон прямой равен \(-8{,}7\,\alpha\) (или \(-8{,}7\,\mu\)). В воде длина волны примерно в девять раз короче, чем в воздухе, и это видно по периоду колебаний мощности при изменении глубины. Если \(k_\star\propto1/d\), то \(\mu^2\) линейно зависит от \(1/d^2\), и отрезок на оси даёт длину волны в воздухе.

Ответ

Ответа и данных организаторов нет; ниже — метод и наша оценка порядка величин (не измерения): 1) \(P_{\min}=10^{L_{\min}/10}\) мВт (\(L_{\min}\) — наименьшее показание, дБм), оценка \(10^{-10}\)–\(10^{-12}\) мВт; 2) \(\lambda_{\text{в}}=2\Delta h\) (\(\Delta h\) — расстояние между соседними максимумами \(P(h)\)), оценка — несколько сантиметров (\(\approx\lambda_0/9\)); 3) \(\alpha=|s|/8{,}7\), где \(s\) — наклон \(P(L)\) в дБ на единицу длины, оценка — порядка \(10\) м\(^{-1}\); 4a) \(\mu=|s|/8{,}7\) по \(P(z)\), оценка — около \(70\) м\(^{-1}\) (если \(f\approx1{,}5\) ГГц); 4b) \(\mu^2=A^2/d^2-\omega^2/c^2\), \(A\approx3{,}68\); 5) \(\lambda_0=2\pi/\sqrt{-b}\) (\(b\) — отрезок на оси \(\mu^2\)), \(n=\lambda_0/\lambda_{\text{в}}\), ожидаемо \(n\approx\sqrt{\varepsilon}\approx9\).

Решение

Официального решения и данных измерений в источнике нет, поэтому ниже — схема каждого опыта, формулы обработки и ожидаемая картина. Частота излучателя в условии не указана; графики на рисунках 4, 6, 9, 10 и числа к ним — модельные данные для иллюстрации метода, рассчитанные нами для \(f=1{,}5\) ГГц (\(\lambda_0\approx20\) см), \(n\approx8{,}8\) и \(\alpha\approx14\) м\(^{-1}\) в воде, а не измерения.

Что происходит. Радиоволна проходит либо через воду, либо через металлическую трубу, диаметр которой слишком мал для её частоты. В обоих случаях мощность спадает по экспоненте с путём: в воде — из-за поглощения (коэффициент \(\alpha\)), в трубе в воздухе — из-за того, что волна запредельная (коэффициент \(\mu\)). Длина волны в воде определяется по периоду интерференции, длина волны в воздухе — по зависимости \(\mu(d)\), а отношение этих длин даёт показатель преломления воды.

Обозначения. \(P\) — мощность, \(L=10\lg(P/1~\text{мВт})\) — показание приёмника в дБм (децибелах относительно 1 мВт), \(\lambda_0\) — длина волны в воздухе, \(\lambda_{\text{в}}=\lambda_0/n\) — в воде, \(n\) — показатель преломления воды. Перевод в мВт: \(P=10^{L/10}\) мВт; разность показаний \(\Delta L=L_2-L_1\) означает отношение мощностей \(P_2/P_1=10^{\Delta L/10}\).

Если мощность спадает по закону \(P\propto e^{-2\gamma x}\) (в силу (1) с \(\gamma=\alpha\) или \(\gamma=\mu\) поле спадает как \(e^{-\gamma x}\), а мощность — как квадрат поля), то \[L=L_0-10\lg e\cdot2\gamma x=L_0-8{,}69\,\gamma x ,\] то есть в децибелах график линеен, а наклон равен \(s=-8{,}69\,\gamma\); отсюда \(\gamma=|s|/8{,}69\).

Задание 1. Чувствительность.

Идея. Наименьшая измеримая мощность — это уровень, ниже которого показания перестают падать: приёмник упирается в собственный шум. Нужно снизить принимаемый сигнал настолько, чтобы показание «встало на полку».

Измерение. Излучатель ставим в длинную узкую металлическую трубу (\(d_1\)) глубоко от выхода, а приёмник — у выхода: запредельная мода гасит сигнал на каждые сантиметры (задание 4a). Отодвигаем излучатель вглубь, пока показание не перестанет уменьшаться; чтобы сигнал не просочился снаружи, торец трубы со стороны излучателя закрываем фольгой, щели обматываем скотчем, а руки и тело убираем. Показание \(L_{\min}\) в дБм переводим в мВт: \(P_{\min}=10^{L_{\min}/10}\) мВт. Шкала графика на экране приёмника доходит до \(-140\) дБм (\(10^{-14}\) мВт), так что значения порядка \(-100\ldots-120\) дБм (\(10^{-10}\ldots10^{-12}\) мВт) — ожидаемые для приёмников такого типа, но точное значение определяет сам прибор.

Перевод показаний в мощность (таблица пересчёта, не измерения):

Обратите внимание: показание приёмника — целое число децибел (рис. 1), то есть относительная погрешность мощности \(26\,\%\) на \(1\) дБ; это и есть точность ответа.

Задание 2. Длина волны в воде.

Идея. Излучатель лежит под дном ящика в фольговом пазу пенопластового держателя и излучает вверх (рис. 2). Вода сверху образует слой толщиной \(h\): от фольги на дне (почти полное отражение) и от границы вода — воздух (коэффициент отражения по полю \(\rho=(n-1)/(n+1)\approx0{,}8\)) волна многократно отражается, как в резонаторе Фабри — Перо. Мощность \(P\) над водой зависит от \(h\) периодически: набег фазы за двойной проход слоя равен \(2kh=4\pi h/\lambda_{\text{в}}\), и мощность проходит максимум при каждом изменении \(h\) на \(\lambda_{\text{в}}/2\).

Рис. 3. Установка опыта 2: излучатель лежит в фольговом пазу под дном, ящик заполняется водой до высоты \(h\), приёмник над поверхностью.

Измерение. Воду доливаем небольшими порциями стаканчиком \(K\) и кувшином \(J\), после каждой порции измеряем линейкой \(h\) и ждём очередного отсчёта приёмника (каждые 15 с). Приёмник держим на одном месте над серединой излучателя, руки и тело — на одном и том же расстоянии. Строим график \(L(h)\) (рис. 4) и находим \(h_m\) — положения соседних максимумов. Расстояние между ними равно половине длины волны в воде: \[\lambda_{\text{в}}=2\,\Delta h_{\text{макс}} .\] Точнее: график \(h_m\) от номера максимума \(m\) — прямая с наклоном \(\lambda_{\text{в}}/2\).

Рис. 4. Модельные данные для иллюстрации метода (расчёт при \(f=1{,}5\) ГГц, не измерения): мощность над водой в зависимости от глубины. Максимумы идут с шагом \(\lambda_{\text{в}}/2\approx1{,}1\) см на фоне спада из-за поглощения.

Обратите внимание: из-за поглощения контраст колебаний падает с глубиной (\(e^{-2\alpha h}\) в доле отражённой волны); при \(h\gtrsim5\) см они почти пропадают, поэтому нужны мелкие шаги по \(h\) в первых сантиметрах: примерно \(0{,}2\) см. Утечка волн через щели в фольге искажает картину — щели заклеиваем.

Проверка. Размерность: \(\lambda_{\text{в}}\) — длина. Оценка: \(\lambda_{\text{в}}=\lambda_0/n\), при \(\varepsilon\approx78\) для воды в диапазоне \(1\)–\(3\) ГГц \(n\approx8{,}8\), то есть \(\lambda_{\text{в}}\approx2{,}3\) см для \(f=1{,}5\) ГГц, и шаг максимумов \(1{,}1\) см — такой, что глубина ящика позволяет увидеть несколько периодов.

Задание 3. Затухание в воде.

Идея. Фольга превращает пластиковую трубу в металлический волновод, заполненный водой: волна идёт по трубе, не расходясь, и теряет энергию только из-за поглощения водой, по закону (1) \(E\propto e^{-\alpha z}\) и мощность \(\propto e^{-2\alpha z}\). Труба вертикальна, излучатель лежит на заглушке, приёмник над трубой; при заливке воды растёт длина водяного столба \(L\).

Рис. 5. Установка опыта 3: труба \(D\) обёрнута фольгой, закреплена скотчем; излучатель на заглушке, высота водяного столба \(L\).

Измерение. Доливаем воду порциями и после каждой порции измеряем линейкой высоту столба \(L\) и записываем показание приёмника; приёмник держим над трубой на одной и той же высоте, фольгу обматываем без щелей (особенно в месте, где излучатель стоит на заглушке).

Обработка. Строим график показания приёмника в дБ от высоты воды (рис. 6). Из-за отражения от поверхности воды на нём есть колебания с шагом \(\lambda_{\text{в}}/2\) (как в задании 2), которые затухают с ростом \(L\); подгоняем прямую по участку больших \(L\), где колебания малы. Наклон \(s\) (дБ на единицу длины) даёт \[\alpha=\frac{|s|}{8{,}69}\cdot\frac{k}{k_w}.\] Множитель \(k/k_w\) — поправка на волноводное распространение: \(k=\sqrt{k_w^2-k_\star^2}\) — волновое число моды в трубе, \(k_w=2\pi/\lambda_{\text{в}}\) — в безграничной воде; при диаметре трубы около \(5\) см \(k_\star\approx3{,}7/d\approx74\) м\(^{-1}\) против \(k_w\approx280\) м\(^{-1}\), и поправка около \(4\,\%\), меньше точности отсчёта в один децибел.

Рис. 6. Модельные данные для иллюстрации метода (расчёт при \(\alpha=14\) м\(^{-1}\), не измерения): мощность в дБ в зависимости от высоты водяного столба; пунктир — асимптотическая прямая.

Оценка (не измерение). Для \(f=1{,}5\) ГГц: \(\alpha\approx\dfrac{\pi f\,\varepsilon''}{c_0\sqrt{\varepsilon'}}\approx14\) м\(^{-1}\) при \(\varepsilon'\approx78\), \(\varepsilon''\approx8\) — это \(1{,}2\) дБ на сантиметр. С ростом частоты в диапазоне \(1\)–\(5\) ГГц \(\alpha\) растёт примерно как \(f\), а у солёной (водопроводной) воды добавляется вклад проводимости.

Проверка. Размерность: \([\alpha]=\text{м}^{-1}\). Предел: \(L\to0\) — мощность перестаёт зависеть от \(L\) (остаётся только отражение от поверхности). Смысл: мощность падает в \(e^{2}\approx7{,}4\) раза на длине \(1/\alpha\approx7\) см.

Задание 4a. Затухающая мода в воздухе.

Идея. В металлической трубе диаметра \(d\) волна с частотой \(\omega<ck_\star\) запредельная: по (2) \(k=i\mu\), где \(\mu=\sqrt{k_\star^2-\omega^2/c^2}\), поле спадает как \(e^{-\mu z}\), а мощность — как \(e^{-2\mu z}\). Дисперсионная кривая показана на рис. 7: слева — затухающая ветвь (окружность \(\mu^2+\omega^2/c^2=k_\star^2\)), справа — бегущая волна.

Рис. 7. Закон дисперсии (2): при \(\omega<ck_\star\) волновое число мнимое, \(k=i\mu\), при \(\omega>ck_\star\) — вещественное.

Измерение. Излучатель кладём в трубу и перемещаем деревянной палочкой \(Q\) на расстояние \(z\) от выхода (верёвка \(M\) и зажим \(N\) позволяют вытащить его обратно); приёмник держим у выхода неподвижно. Расстояние измеряем линейкой от центра излучателя; источник волн находится на \(6\) мм от торца излучателя (рис. 1), этот сдвиг входит в \(z\) как постоянная и на наклон не влияет. Для каждого \(z\) записываем показание приёмника.

Рис. 8. Установка опыта 4a: излучатель на расстоянии \(z\) от выхода, приёмник у выхода трубы.

Обработка. Строим \(L(z)\) в децибелах (рис. 9): прямая с наклоном \(s=-8{,}69\,\mu\), откуда \(\mu=|s|/8{,}69\). Оценка (не измерение) для \(d=46\) мм и \(f=1{,}5\) ГГц: \(k_\star=3{,}68/d=80\) м\(^{-1}\), \(\omega/c=31{,}4\) м\(^{-1}\), \(\mu=73{,}6\) м\(^{-1}\) — спад на \(6{,}4\) дБ на каждый сантиметр. На малых \(z\) прямая может искривляться (на расстоянии порядка \(d\) от торца излучателя поле ещё не сложилось в моду); подгонять нужно по участку \(z\gtrsim d\).

Рис. 9. Модельные данные для иллюстрации метода (расчёт при \(d=46\) мм, \(f=1{,}5\) ГГц, не измерения): мощность в дБ линейно спадает с расстоянием \(z\); наклон \(-8{,}69\,\mu\).

Задание 4b. Зависимость \(\mu(d)\).

Гипотеза. Постоянная \(k_\star\) зависит только от диаметра трубы и моды; единственная длина в задаче с трубой — \(d\), поэтому по размерности \(k_\star=A/d\) с безразмерным числом \(A\) (для низшей моды круглой трубы \(A=2\cdot1{,}841=3{,}68\) — по теории волноводов). Тогда \[\mu^2=\frac{A^2}{d^2}-\frac{\omega^2}{c^2},\] то есть \(\mu^2\) — линейная функция от \(1/d^2\) с наклоном \(A^2\) и отрезком \(-\omega^2/c^2\) на оси ординат.

Измерение. Повторяем опыт 4a для всех четырёх труб (\(d=41\), \(46\), \(59\), \(100\) мм) при одном и том же способе измерения; для каждой находим \(\mu_i\). Это возможно, пока частота ниже отсечки \(f_c=1{,}84\,c/(\pi d)\) каждой трубы (для \(d=100\) мм \(f_c\approx1{,}76\) ГГц).

Обработка. Строим график \(\mu^2\) от \(1/d^2\) (рис. 10); точки должны лечь на прямую; наклон должен выйти около \(A^2\approx13{,}6\), что подтверждает гипотезу \(k_\star\propto1/d\).

Рис. 10. Модельные данные для иллюстрации метода (расчёт при \(f=1{,}5\) ГГц, не измерения): прямая \(\mu^2(1/d^2)\) для четырёх труб; отрезок на оси равен \(-(\omega/c)^2\).

Обратите внимание: график \(\mu^2(1/d^2)\) нельзя заменять графиком \(\mu(1/d)\) и требовать прямую через начало координат: \(\mu\) отличается от \(k_\star\) на вклад частоты. Отрезок \(-\omega^2/c^2\), не равный нулю, — не погрешность, а полезный результат (задание 5).

Задание 5. Длина волны в воздухе и показатель преломления воды.

Из отрезка \(b=-\omega^2/c^2\) на графике рис. 10: \[\lambda_0=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{-b}} .\] На модельных данных рис. 10: \(b=-988\) м\(^{-2}\), \(\sqrt{988}=31{,}4\) м\(^{-1}\), \(\lambda_0=0{,}200\) м. Другой способ: на отсечке \(\omega=ck_\star\), то есть \(2\pi/\lambda_0=A/d_c\), длина волны равна \(\lambda_0=2\pi d_c/A\approx1{,}7\,d_c\) (для \(d_c\) — диаметра, при котором \(\mu\) обращается в нуль); практичнее брать отрезок. Показатель преломления воды — отношение длин волн, найденных в заданиях 5 и 2: \[n=\frac{\lambda_0}{\lambda_{\text{в}}}\quad\Bigl(\text{на модельных данных }\frac{20~\text{см}}{2{,}3~\text{см}}\approx8{,}8\Bigr),\] что согласуется со значением \(\sqrt{\varepsilon}=\sqrt{78}=8{,}8\) для статической диэлектрической проницаемости воды на гигагерцах.

Проверка. Размерность: \([\mu^2]=\text{м}^{-2}\), \([A^2/d^2]=\text{м}^{-2}\). Предел: при \(d\to\infty\) \(\mu^2\to-\omega^2/c^2<0\) — волна больше не запредельная (\(k\) вещественно), и для широкой трубы прямая выходит в область \(\mu^2<0\); трубу \(d_4=100\) мм измерение \(\mu\) допускает, пока \(\mu^2>0\), то есть при \(f<1{,}76\) ГГц. Для воды все отсечки в \(n\) раз ниже: \(f_c=A\,c_0/(2\pi n d)\), так что труба \(D\) с водой пропускает волну даже на низких частотах, где воздушная труба того же диаметра запредельна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.