Скрытый узор

Печатные линии работают как дифракционная решётка. Максимумы лежат на прямой, перпендикулярной касательной к линии в освещённом месте: по наклону этой прямой читается наклон синусоиды, по расстоянию между максимумами — сдвиг \(d\) соседних линий, а вертикальные края ступенек дают отдельную, вторичную картину.

a) \(\Lambda=(60{,}8\pm0{,}3)\) мм;  b) \(d=(60{,}1\pm0{,}5)\) мкм;  c) \(A=(5{,}0\pm0{,}1)\) мм;  d) \(s=(10{,}2\pm0{,}4)\) мкм.

Что происходит. Пучок лазера освещает на плёнке пятно диаметром порядка миллиметра. Внутри пятна печатные линии — практически прямые параллельные штрихи, то есть пятно работает как дифракционная решётка. Максимумы лежат на одной прямой, перпендикулярной касательной к линии в освещённой точке, а расстояния между ними задаёт расстояние между соседними линиями. Если сдвигать плёнку поперёк пучка, пятно скользит по синусоиде, касательная поворачивается, и картина на экране наклоняется на тот же угол \(\theta\). Так наклон картины и положение на плёнке дают \(\Lambda\) и \(A\); расстояния между максимумами дают \(d\). Горизонтальные отрезки со ступеньками высоты \(s\) добавляют вторичную картину с вертикальных краёв: по ней находится \(s\).

Обозначения. \(\lambda=654\) нм (с погрешностью \(5\) нм, то есть \(0{,}8\,\%\)); \(L\) — расстояние от плёнки до экрана; \(x\) — положение пятна на плёнке вдоль линейки (отсчёт по диагональной шкале с точностью \(0{,}1\) мм); \(\theta\) — угол прямой максимумов на экране с вертикалью (он равен углу наклона синусоиды в освещённом месте); \(n\) — порядок максимума; \(R_n\) — расстояние от центрального максимума до \(n\)-го на экране. Синусоиду описываем как \(y=A\sin k(x-x_0)\) с волновым числом \(k=2\pi/\Lambda\).

Рис. 1. Установка, вид сверху. Лазер закреплён неподвижно, подставка с плёнкой скользит вдоль ребра линейки, экран с гониометром стоит на расстоянии \(L\) от плёнки. Стрелка \(x\) — направление сдвига плёнки.

Установка: плёнку фиксируем двумя зажимами на L-образной подставке и выставляем строго вертикально; гониометр приклеен к экрану нулём градусов вверх. Лазер закрепляем на второй подставке так, чтобы пучок попадал в центр гониометра. Экран ставим как можно дальше от плёнки (на столе наискосок), чтобы смещения максимумов были больше и точность выше. Подставку с плёнкой сдвигаем малыми шагами вдоль ребра линейки, приложенного к диагональной шкале, и следим за картиной на экране, не отвлекаясь на положение подставки; по шкале записываем \(x\) — расстояние от пятна до края плёнки.

Рис. 2. Геометрия в освещённом месте (не в масштабе). Максимумы (красные точки) лежат на нормали к линии, наклонённой на угол \(\theta\) к вертикали; расстояние между соседними линиями по нормали \(d'=d\cos\theta\).

a. Период \(\Lambda\).

Когда пятно лежит на гребне или впадине синусоиды, касательная горизонтальна, а прямая максимумов на экране вертикальна: \(\theta=0\). Соседние гребень и впадина отстоят на половину периода, поэтому расстояние между двумя последовательными положениями плёнки с вертикальной картиной равно \(\Lambda/2\), то есть \(\Lambda=2(x_2-x_1)\).

Способ A: график. Записываем \(\theta\) при смещении \(x\) плёнки с шагом \(2\) мм (таблица в конце задания) и строим \(\theta(x)\).

Рис. 3. Угол наклона картины \(\theta\) в зависимости от положения пятна \(x\) (данные организаторов). Линия — модель \(\theta=\operatorname{arctg}\bigl(kA\cos k(x-x_0)\bigr)\) с \(\Lambda=60{,}8\) мм, \(A=5{,}0\) мм, \(x_0=25\) мм.

Линейные подгонки четырёх точек у каждого перехода через нуль дают \(x_1=10{,}0\) мм и \(x_2\approx40\) мм, откуда \(\Lambda\approx60\pm2\) мм (при графическом определении \(x_2\) в пределах \(\pm1\) мм).

Способ B: точные положения. Двигая подставку, добиваемся, чтобы максимумы выстроились вдоль вертикали, и берём отсчёт \(x_1\); затем находим по шкале соседнее положение с вертикальной картиной, \(x_2\). Совместить картину с вертикалью трудно, поэтому измерение повторяем пять раз:

Разности \(x_1-x_2\): \(30{,}5;\ 30{,}6;\ 30{,}2;\ 30{,}3;\ 30{,}3\) мм, среднее \(30{,}38\) мм, разброс \(0{,}16\) мм. Отсюда \[\Lambda=2(x_1-x_2)=2\cdot30{,}38~\text{мм}\approx60{,}8~\text{мм},\qquad \Delta\Lambda\approx0{,}3~\text{мм}\] (в погрешность входят разброс и точность отсчёта \(0{,}1\) мм по шкале). Способ A согласуется со способом B.

Проверка. Расстояние до экрана большое, угол \(\theta\) измеряется на гониометре с точностью около одного градуса, а \(x\) — до \(0{,}1\) мм, так что метод B заведомо точнее графического.

b. Сдвиг \(d\) соседних синусоид.

Соседние линии сдвинуты по вертикали на \(d\), но по нормали к линии (в направлении, в котором решётка и дифрагирует) расстояние между ними меньше: период решётки \[d'=d\cos\theta\] (рис. 2). Для максимума порядка \(n\) дифракционной решётки угол \(\varphi\) с направлением падения находится из \(d'\sin\varphi=n\lambda\), так что \[\sin\varphi=\frac{n\lambda}{d\cos\theta}.\] Углы много меньше радиана, поэтому на экране на расстоянии \(L\) \[R_n=L\operatorname{tg}\varphi\approx\frac{n\lambda L}{d\cos\theta}.\] Нулевой порядок мог немного сместиться относительно центра гониометра, поэтому измеряем расстояние между симметричными максимумами \(D_n=R_n+R_{-n}\) и берём отсюда \[d=\frac{2n\lambda L}{D_n\cos\theta}.\] Наблюдаем \(n=5\) (\(L=74{,}6\) см), угол \(\theta\) при разных положениях пятна \(x\) даёт разные \(D_5\), а \(d\) получается одним и тем же. Данные организаторов (\(D_5\) и \(\theta\) — в таблице в пункте c; \(d\) вычислено по формуле):

Рис. 4. Значения \(d\), вычисленные для всех положений пятна \(x\); линия — среднее.

Среднее по 26 точкам \(d=60{,}1\) мкм при разбросе отдельной точки \(0{,}5\) мкм (стандартное отклонение среднего \(0{,}1\) мкм). Основной вклад в погрешность даёт длина волны (\(0{,}8\,\%\), то есть \(0{,}5\) мкм): \[d=(60{,}1\pm0{,}5)~\text{мкм}.\] При \(\theta=0\) (вертикальная картина, пятно на гребне или впадине) формула упрощается: \(\sin\varphi=n\lambda/d\), то есть \(d=2n\lambda\sqrt{L^2+D_n^2/4}\,/D_n\). Измерение при \(L=810\) мм, \(n=6\) и отмеченных на экране точках даёт \(D_6=105{,}5\) мм и \(d\approx60{,}4\) мкм, с той же погрешностью \(\pm0{,}5\) мкм.

Обратите внимание: период решётки — расстояние по нормали \(d\cos\theta\), а не вертикальный сдвиг \(d\); без множителя \(\cos\theta\) при \(\theta\approx27^\circ\) получилась бы ошибка около \(11\,\%\).

Рис. 5. Картина на экране (схема): первичные максимумы вдоль прямой, наклонённой на \(\theta\) к вертикали; вторичные максимумы по бокам центра в перпендикулярном направлении. Окружности — деления гониометра.

Проверка. Размерность: \(\lambda L/D\) — метры. При \(L=0{,}746\) м, \(n=5\) и \(D_5=8{,}8\) см, \(\cos\theta=\cos23^\circ=0{,}92\) получаем \(d=2\cdot5\cdot654\cdot10^{-9}\cdot0{,}746/(0{,}088\cdot0{,}92)=60{,}3\) мкм — совпадает с таблицей. Предел: чем больше \(d\), тем ближе максимумы и тем больше нужен \(n\).

c. Амплитуда \(A\).

Синусоида: \(y=A\sin k(x-x_0)\). Касательная к ней при смещении \(x\) имеет наклон \(\operatorname{tg}\theta=dy/dx=kA\cos k(x-x_0)\), а так как прямая максимумов перпендикулярна касательной, её угол с вертикалью равен углу наклона касательной к горизонтали. Введём \(z=\cos k(x-x_0)\) и \(t=\operatorname{tg}\theta\): они связаны линейно, \[t=kA\,z\equiv m\,z,\qquad A=\frac mk .\] Точка \(x_0\) — середина между \(x_1\) и \(x_2\) (\(\theta_{\max}\) достигается именно там): \(x_0\approx25\) мм. По волновому числу \(k=2\pi/\Lambda=0{,}1033\) мм\(^{-1}\) и данным таблицы вычисляем \(z\) и \(t\):

Рис. 6. \(t=\operatorname{tg}\theta\) в зависимости от \(z=\cos k(x-x_0)\): прямая через начало координат.

Подгонка по методу наименьших квадратов через начало координат даёт наклон \(m=0{,}515\pm0{,}009\) и \[A=\frac mk=\frac{0{,}515}{0{,}1033~\text{мм}^{-1}}\approx5{,}0~\text{мм},\qquad \Delta A\approx0{,}1~\text{мм}.\] Есть и прямой способ: наклон синусоиды максимален в точке пересечения оси (\(z=1\)), там \(\operatorname{tg}\theta_{\max}=kA\). Находим по сдвигу плёнки максимальный наклон картины \(\theta_{\max}=27{,}5^\circ\pm0{,}3^\circ\) (в таблице организаторов максимум \(27^\circ\) в точках \(x=24\)–\(26\) мм) и получаем \[A=\frac{\Lambda\operatorname{tg}\theta_{\max}}{2\pi}=\frac{60{,}8\cdot0{,}521}{2\pi}=5{,}04~\text{мм}.\] Окончательно \(A=(5{,}0\pm0{,}1)\) мм.

Проверка. Угол \(\theta_{\max}=\operatorname{arctg}(kA)=\operatorname{arctg}(0{,}517)=27{,}3^\circ\) согласуется с измеренным. Предел: при \(A\to0\) линии прямые и \(\theta=0\) при любом \(x\).

d. Высота шага \(s\).

Под микроскопом видно, что синусоида составлена из горизонтальных отрезков, смещённых друг относительно друга на \(s\). Наклонный участок линии — лесенка: за один шаг вверх на \(s\) линия сдвигается по горизонтали на \(g\), причём наклон линии \[\operatorname{tg}\theta=\frac sg,\qquad g=\frac s{\operatorname{tg}\theta}.\]

Рис. 7. Лесенка под микроскопом: вертикальные края (красные пунктиры) отстоят по горизонтали на \(g=s/\operatorname{tg}\theta\).

Вертикальные края отрезков, расположенные через равные промежутки \(g\), образуют ещё одну дифракционную решётку с периодом \(g\) и штрихами вертикально, поэтому она даёт вторичную картину из максимумов в горизонтальном направлении. Её максимумы первого порядка лежат по бокам центра на расстояниях \(R_+\) и \(R_-\); угол \[\omega\approx\operatorname{tg}\omega=\frac{R_++R_-}{2L},\qquad \omega\approx\sin\omega=\frac\lambda g .\] Отсюда \[g=\frac{2L\lambda}{R_++R_-},\qquad s=g\operatorname{tg}\theta=\frac{2L\lambda\operatorname{tg}\theta}{R_++R_-}.\] (Если измерять расстояния \(\tilde R_\pm\) в направлении, перпендикулярном первичной картине, то \(\tilde R=R\cos\theta\), и формула принимает вид \(s=2L\lambda\sin\theta/(\tilde R_++\tilde R_-)\) — результат тот же.)

Вторичную картину можно рассмотреть только при больших \(\theta\): чем круче наклон линии, тем плотнее ступеньки по горизонтали (\(g\) мало) и тем шире разведены вторичные максимумы; при малых \(\theta\) они слипаются с центральным пятном. Поэтому берём \(\theta\) как можно больше (около \(25^\circ\) и выше: участки синусоиды вблизи нулей, где угол почти не меняется). Максимумы отмечаем карандашом на экране и измеряем расстояние между ними по линейке. Данные (\(L=74{,}6\) см):

Значения \(s\) вычислены по формуле выше. Среднее \(\bar s=10{,}2\) мкм, стандартное отклонение отдельного измерения \(0{,}4\) мкм; графическая подгонка здесь ничего не даёт, так как \(s\) — не параметр линейной зависимости, а общее для всех точек значение. Итог: \[s=(10{,}2\pm0{,}4)~\text{мкм}.\]

Проверка. При \(\theta=27{,}8^\circ\) и \(s=10{,}2\) мкм получаем \(g=s/\operatorname{tg}\theta=19{,}4\) мкм и \(R_++R_-=2L\lambda/g=2\cdot0{,}746\cdot654\cdot10^{-9}/19{,}4\cdot10^{-6}=5{,}0\) см — в пределах разброса совпадает с измеренными \(4{,}75\) см. Размерность: \(\lambda L/R\) — метры.

Обратите внимание: \(s\) много меньше \(d\) (\(10\) против \(60\) мкм), поэтому вторичная картина расположена гораздо шире первичной: расстояние между максимумами обратно пропорционально периоду решётки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.