Квадратура круга

При \(\varphi = 45^\circ\) симметрия разбивает схему на два одинаковых параллельных участка. Между соседними вершинами квадрата проволока идёт двумя параллельными путями: по стороне квадрата и по дуге четверти окружности.

1) При \(\varphi = 45^\circ\) из соображений симметрии по сторонам \(BC\) и \(AD\) ток не течёт. Схема — параллельное соединение двух одинаковых участков \(MBAN\) и \(MCDN\), каждый из которых — последовательное соединение \(MB\), \(AB\) и \(AN\). Участки \(MB\) и \(AN\) — дуги по \(\dfrac{\pi a}{4}\), а \(AB\) — параллельное соединение четверти окружности (длина \(\dfrac{\pi a}{2}\)) и стороны квадрата (длина \(a\sqrt2\)): \[R_{AB} = \lambda\,\frac{\dfrac{\pi a}{2}\cdot a\sqrt2}{\dfrac{\pi a}{2} + a\sqrt2} = \frac{\pi\sqrt2}{\pi + 2\sqrt2}\,a\lambda.\] Тогда \[R_1 = \frac{1}{2}\left(R_{MB} + R_{AB} + R_{AN}\right) = \frac{\pi}{4}\,a\lambda + \frac{R_{AB}}{2} = \frac{\pi\,(4\sqrt2 + \pi)}{4\,(2\sqrt2 + \pi)}\,a\lambda \approx 1{,}157\,a\lambda.\]

2) При \(\varphi = 0^\circ\) точка \(M\) совпадает с \(C\), точка \(N\) — с \(A\). Схема — параллельное соединение двух одинаковых участков \(CBA\) и \(CDA\), каждый из которых — последовательное соединение двух одинаковых участков \(CB\) и \(BA\) с сопротивлением \(R_{AB}\). Поэтому \(R_2 = \dfrac12 \cdot 2R_{AB} = R_{AB} = \dfrac{\pi\sqrt2}{2\sqrt2 + \pi}\,a\lambda \approx 0{,}744\,a\lambda\).

3) Сопротивление периодично по \(\varphi\) с периодом \(90^\circ\) и чётно: \(R(\varphi) = R(\varphi + 90^\circ) = R(-\varphi)\). Значит, экстремумы достигаются при \(\varphi = 0^\circ\) (значение \(R_2\)) и при \(\varphi = 45^\circ\) (значение \(R_1\)). Поскольку \(R_2 < R_1\), а максимум достигается в \(\varphi = 45^\circ\), получаем \(R_\text{min} = R_2\) и \(R_\text{max} = R_1\).