Паровоз в Щербинке

Баланс энергии за одно испытание: полезная мощность \(\beta v^2\) и потери вместе дают расход угля. Два испытания одинаковой длительности дают два корня одного квадратного уравнения по \(v\), так что для ответа на первый вопрос пригодится теорема Виета.

Полезная мощность паровоза \(P_\text{вых} = Fv = \beta v^2\). Пусть \(S_0 = 6\) км — длина кольца, \(\lambda\) — удельная теплота сгорания, \(\tau\) — длительность испытания. За испытание сожжено \(1{,}5\,m_0 + (N-1)\,m_0 = (N + 0{,}5)\,m_0\) угля, где \(N\) — число кругов, \(N = v\tau/S_0\). Баланс энергии \[(\beta v^2 + P_\text{пот})\,\tau = (N + 0{,}5)\,\lambda m_0\] даёт квадратное уравнение относительно \(v\): \[\beta\tau\, v^2 - \frac{\tau\lambda m_0}{S_0}\,v + \left(P_\text{пот}\tau - \frac{\lambda m_0}{2}\right) = 0.\] 1) Два испытания в понедельник занимают одно и то же время \(\tau\), значит, их скорости \(v_1\) и \(v_2\) — корни этого уравнения. По теореме Виета \(v_1 + v_2 = \dfrac{\lambda m_0}{\beta S_0}\), откуда \(v_\text{ср} = \dfrac{v_1 + v_2}{2} = \dfrac{\lambda m_0}{2\beta S_0}\) и \(m_0 = \dfrac{2\beta S_0 v_\text{ср}}{\lambda} \approx 77{,}86\) кг.

2) Во вторник число кругов \(N = 53\) одинаково, а скорости \(v_i = NS_0/\tau_i\). Подстановка даёт для времён \(\tau_1\) и \(\tau_2\) уравнение \(P_\text{пот}\tau^2 - (N + 0{,}5)\lambda m_0\,\tau + \beta N^2 S_0^2 = 0\). По теореме Виета \[P_\text{пот} = \frac{(N + 0{,}5)\,\lambda m_0}{\tau_1 + \tau_2} \approx 799{,}25~\text{кВт},\] где \(\tau_1 + \tau_2 = 9\) ч \(55\) мин.

3) В среду \(\tau = NS_0/v\); подставляя в баланс энергии, находим \[N = \frac{0{,}5\,v\lambda m_0}{\beta v^2 S_0 + P_\text{пот}S_0 - v\lambda m_0} \approx 13{,}0,\] при \(v = 83\) км/ч \(\approx 23{,}1\) м/с. Значит, пройдено \(S = 13 \cdot 6\) км \(= 78\) км.